Analisis Model: Sistem Terisolasi Dan Tak Terisolasi (Momentum)

dp = ∑F dt                                                                       (9.7)

Kita bisa mengintegrasikan ungkapan ini untuk menemukan perubahan dalam momentum partikel ketika gaya bekerja selama beberapa interval waktu. Jika momentum partikel berubah dari p_i saat t_ike p_f saat t_f, dengan mengintegrasikan Persamaan 9.7 memberikan
∆p = p_f – p_i =                                                   (9.8)

Untuk mengevaluasi integral, kita perlu mengetahui bagaimana gaya total berubah terhadap waktu. Besaran di sisi kanan dari persamaan ini adalah sebuah vektor yang disebut impuls dari gaya total ∑Fyang bekerja pada sebuah partikel selama interval waktu ∆t = t_f – t_i:
                                            (9.9)

Dari definisi, kita melihat bahwa impuls I adalah besaran vektor yang memiliki magnitudo yang sama ke daerah di bawah kurva gaya-waktu yang dijelaskan pada Gambar 9.3a. Diasumsikan gaya berubah terhadap waktu dengan cara yang umum ditunjukkan pada gambar dan nol dalam interval waktu ∆t = t_f – t_i. Arah dari vektor impuls adalah sama dengan arah perubahan momentum. Impulse memiliki dimensi momentum, yaitu, ML / T. Impulse bukanlah sifat partikel, melainkan merupakan ukuran sejauh mana gaya eksternal merubah momentum partikel.

Menggabungkan Persamaan 9.8 dan 9.9 memberikan kita pernyataan penting yang dikenal sebagai teorema impuls-momentum:
Perubahan momentum sebuah partikel sama dengan impuls dari gaya total yang bekerja pada partikel:
∆p = I                                                                    (9,10)

Pernyataan ini setara dengan hukum kedua Newton. Ketika kita mengatakan bahwa sebuah impuls diberikan kepada partikel, kita mengartikan bahwa momentum ditransfer dari agen eksternal untuk partikel yang. Persamaan 9.10 identik dalam bentuk dengan konservasi persamaan energi, Persamaan 8.1, dan perluasan penuh, Persamaan 8.2. Persamaan 9.10 adalah pernyataan yang paling umum dari prinsip kekekalan momentum dan disebut persamaan kekekalan momentum. Dalam kasus pendekatan momentum, sistem terisolasi cenderung muncul dalam masalah yang lebih sering daripada sistem nonisolated, demikian, dalam prakteknya, persamaan kekekalan momentum sering diidentifikasi sebagai kasus khusus dari Persamaan 9.5.

Sisi kiri Persamaan 9.10 merupakan perubahan momentum dari sistem, yang dalam hal ini adalah partikel tunggal. Sisi kanan adalah ukuran dari seberapa banyak momentum melintasi batas dari sistem karena gaya total yang diterapkan pada sistem. Persamaan 9.10 adalah pernyataan matematis dari model analisis baru, model sistem nonisolated (momentum). Meskipun persamaan ini mirip dalam bentuk dengan Persamaan 8.1, ada beberapa perbedaan dalam penerapannya pada masalah. Pertama, Persamaan 9.10 adalah persamaan vektor, sedangkan Persamaan 8.1 adalah persamaan skalar. Oleh karena itu, arah penting untuk Persamaan 9.10. Kedua, hanya ada satu jenis momentum dan karena itu hanya salah satu cara untuk menyimpan momentum dalam suatu sistem. Sebaliknya, seperti yang kita lihat dari Persamaan 8.2, ada tiga cara untuk menyimpan energi dalam sistem: kinetik, potensial, dan internal. Ketiga, hanya ada satu cara untuk mentransfer momentum ke dalam sistem: dengan penerapan gaya pada sistem selama suatu interval waktu. Persamaan 8.2 menunjukkan enam cara yang telah kita identifikasi seperti mentransfer energi ke dalam sistem. Oleh karena itu,
tidak ada perluasan Persamaan 9.10 analog dengan Persamaan 8.2.

Karena gaya total menyampaikan sebuah impils ke suatu partikel secara umum dapat berbeda dalam waktu, akan lebih mudah untuk menentukan gaya total waktu rata-rata:
                                         (9.11)

dimana ∆t = t_f – t_i. ( Persamaan ini merupakan aplikasi dari teorema nilai rata-rata dari kalkulus) Oleh karena itu, kita dapat mengekspresikan Persamaan 9.9 sebagai:
I = ( ∑F )_avg  ∆t                                                           (9.12)

Ini gaya waktu rata-rata, yang ditunjukkan pada Gambar 9.3b, dapat diartikan sebagai gaya konstan yang akan diberikan kepada partikel dalam interval waktu ∆t  dengan impuls yang sama bahwa waktu-variasi gaya memberikan lebih dari interval yang sama.

Pada prinsipnya, jika ∑F dikenal sebagai fungsi waktu, impuls dapat dihitung dari Persamaan 9.9. Perhitungan menjadi sangat sederhana jika gaya yang bekerja pada partikel adalah konstan. Dalam kasus ini, ( ∑F )_avg = ∑F , di mana ∑F adalah gaya total yang konstan, dan Persamaan 9.12 menjadi:
I = ∑F ∆t                                                                     (9.13)

Dalam banyak situasi fisik, kita akan menggunakan apa yang disebut pendekatan impuls, di mana kita menganggap salah satu gaya yang diberikan pada partikel bekerja untuk waktu yang singkat tapi jauh lebih besar daripada saat gaya lain. Dalam kasus ini, jumlah gaya ∑F dalam Persamaan 9.9 diganti dengan gaya F tunggal untuk menemukan impuls pada partikel. Pendekatan ini sangat berguna dalam mengatasi tumbukan di mana durasi tumbukan sangat singkat. Ketika pendekatan ini dibuat, gaya tunggal disebut sebagai gaya impulsif.