7.3 Produk Skalar Dua Vektor
Karena lintasan vektor gaya dan perpindahan digabungkan dalam Persamaan 7.1, akan sangat membantu untuk menggunakan alat matematika yang disebut produk skalar dari dua vektor. Kita menulis skalar produk dari vektor A dan B sebagai A.B (Karena simbol dot, produk skalar sering disebut dot product.)
Produk skalar dari dua vektor A dan B didefinisikan sebagai suatu besaran skalar sama dengan produk dari besaran dari dua vektor dan cosinus q sudut antara keduanya:
A.B = AB cos q (7.2)
Seperti halnya dengan perkalian biasa, A dan B tidak perlu memiliki satuan yang sama. Dengan membandingkan definisi ini dengan Persamaan 7.1, kita dapat mengekspresikan Persamaan 7.1 sebagai produk skalar:
W = F ∆r cos q = F. ∆r (7.3)
Dengan kata lain, F. ∆r adalah notasi singkat untuk F ∆r cos q.
Sebelum melanjutkan diskusi kita tentang usaha, mari kita selidiki beberapa sifat dari produk dot. Gambar 7.6 menunjukkan dua vektor A dan B dan q sudut antara keduanya digunakan dalam definisi produk dot. Dalam Gambar 7.6, B cos q adalah proyeksi B ke A. Oleh karena itu, Persamaan 7.2 berarti bahwa A.B adalah produk dari besarnya A dan proyeksi B ke A.
Akhirnya, produk skalar mematuhi hukum distributif perkalian, sehingga
A. (B + C) = A.B + A.C
Produk skalar sederhana untuk mengevaluasi dari Persamaan 7.2 bila A adalah tegak lurus atau sejajar dengan B. Jika A tegak lurus terhadap B (q = 900), maka A.B = 0. (Kesetaraan A.B = 0 juga berlaku dalam kasus yang lebih sepele di mana A atau B adalah nol.) Jika vektor A adalah sejajar dengan vektor B dan dua titik dalam arah yang sama (q= 0), maka A.B =AB. Jika vektor A adalah sejajar dengan vektor B tetapi dua titik dalam arah yang berlawanan (q= 1800), maka A.B = –AB. Produk skalar negatif ketika 900 < q ≤1800.
Vektor satuan i , j, dan k, yang didefinisikan dalam Bab 3, terletak pada x, y, dan z arah positif, masing-masing dari sistem koordinat tangan kanan. Oleh karena itu, berikut dari definisi A.B bahwa produk skalar dari vektor satuan yang
i.i = j.j = k.k =1 (7.4)
i.j = i.k= j.k= 0 (7.5)
Persamaan 3.18 dan 3.19 menyatakan bahwa dua vektor A dan B dapat dinyatakan dalam vector satuan terbentuk sebagai:
A = Ax i + Ay j + Az k
Menggunakan ungkapan ini untuk vektor dan informasi yang diberikan dalam Persamaan 7.4 dan 7.5 menunjukkan bahwa produk skalar dari A dan B menjadi:
A.B = AxBx + AyBy + AzBzOleh 1 Az Bz (7.6)
A.A = Ax 2 + Ay2 + Az2 = A2
7.4 Usaha Yang Dilakukan oleh Beberapa Gaya
Perhatikan sebuah partikel yang berada di sepanjang sumbu x di bawah pengaruh gaya yang bervariasi dengan posisi. Partikel tersebut dipindahkan ke arah peningkatan x dari x = xi sampai x= xf. Dalam situasi seperti ini, kita tidak dapat menggunakan W = F ∆r cos q untuk menghitung kerja yang dilakukan oleh gaya karena hubungan ini berlaku hanya jika F adalah konstan dalam besar dan arahnya. Namun, jika kita membayangkan bahwa partikel mengalami perpindahan ∆x yang sangat kecil, yang ditunjukkan pada Gambar 7.7a, x komponen Fx dari gaya yang di sekitar konstan selama interval ini kecil, karena perpindahan kecil ini, kita dapat mendekati kerja yang dilakukan pada partikel dengan gaya seperti
W = Fx∆x
yang merupakan daerah persegi panjang yang diarsir pada Gambar 7.7a. Jika kita membayangkan kurva Fx terhadap x dibagi menjadi sejumlah besar interval tersebut, total kerja yang dilakukan untuk perpindahan dari xi ke xf kira-kira sama dengan jumlah dari sejumlah besar istilah-istilah seperti:
Jika ukuran perpindahan kecil diperbolehkan untuk mendekati nol, jumlah istilah dalam jumlah meningkat tanpa batas tetapi nilai dari jumlah mendekati nilai yang pasti sama dengan daerah yang dibatasi oleh kurva Fx dan sumbu x:
Oleh karena itu, kita dapat mengekspresikan kerja yang dilakukan oleh Fx pada partikel ketika bergerak dari xi ke xf sebagai
(7.7)
Persamaan ini disederhanakan menjadi Persamaan 7.1 bila komponen Fx = F cos
q tetap konstan.
Jika lebih dari satu gaya yang bekerja pada sistem dan sistem dapat dimodelkan sebagai sebuah partikel, total usaha yang dilakukan pada sistem ini hanya usaha yang dilakukan oleh gaya total. Jika kita mengekspresikan gaya total dalam arah x sebagai ∑Fx, total usaha, atau jumlah usaha, yang dilakukan seperti partikel bergerak dari xi ke xf adalah:
(partikel)
(partikel) (7.8)di mana integral dihitung atas jalan yang partikel mengambil melalui ruang. Subskrip “ext” pada usaha mengingatkan kita bahwa kerja total yang dilakukan oleh agen eksternal pada sistem. Kita akan menggunakan notasi ini dalam bab ini sebagai pengingat dan untuk membedakan usaha ini dari kerja internal akan segera dijelaskan. Jika sistem tidak dapat dimodelkan sebagai partikel (misalnya, jika sistem mampu berubah bentuk), kita tidak dapat menggunakan Persamaan 7.8 karena gaya yang berbeda pada sistem dapat bergerak melalui perpindahan yang berbeda. Dalam hal ini, kita harus mengevaluasi usaha yang dilakukan oleh masing-masing gaya secara terpisah dan kemudian menambahkan karya aljabar untuk mencari kerja total yang dilakukan pada sistem:
(sistem yang dapat berubah bentuk)
Usaha Yang Dilakukan Oleh Sebuah Pegas
Sebuah model sistem fisik umum di mana gaya bervariasi dengan posisi ditunjukkan dalam Gambar 7.9. Sistem blok pada gesekan, permukaan horizontal dan terhubung ke pegas. Bagi banyak pegas, jika pegas adalah baik diregangkan atau dikompresi dari konfigurasi jarak teregangnya (equilibrium), itu diberikannya di blok gaya yang secara matematis dimodelkan sebagai
Fs = -kx (7.9)
di mana x adalah posisi dari balok relatif terhadap posisi kesetimbangan (x = 0) dan k adalah konstanta positif yang disebut gaya konstan atau konstanta pegas dari sebuah pegas. Dengan kata lain, gaya yang dibutuhkan untuk meregangkan atau menekan pegas adalah sebanding dengan besarnya peregangan atau kompresi x. Hukum gaya pada pegas ini dikenal sebagai Hukum Hooke. Nilai k adalah ukuran kekakuan pegas. Pegas yang keras memiliki nilai k yang besar, dan pegas yang lemas memiliki nilai k kecil. Seperti dapat dilihat dari Persamaan 7.9, satuan dari k adalah N / m.
Bentuk vektor Persamaan 7.9 adalah
Fs = Fs i = -kx i (7.10)
di mana kita telah memilih sumbu x sepanjang arah pegas meregang atau menyusut.
Tanda negatif dalam Persamaan 7.9 dan 7.10 menandakan bahwa gaya yang diberikan oleh pegas selalu diarahkan berlawanan arah terhadap perpindahan dari kesetimbangan. Ketika x>0 seperti pada Gambar 7.9a, sehingga balok ada di sebelah kanan posisi kesetimbangan, gaya pegas mengarah ke kiri, dalam arah x negatif. Ketika x<0 seperti pada Gambar 7.9c, balok ada di sebelah kiri keseimbangan dan gaya pegas mengarah ke kanan, dalam arah x positif. Ketika x = 0 seperti pada Gambar 7.9b, pegas teregang dan Fs = 0. Karena gaya pegas selalu berlawanan arah terhadap posisi kesetimbangan (x = 0), kadang-kadang disebut gaya pemulih.
Jika pegas ditekan sampai balok ada pada titik -xmax dan kemudian dilepaskan, balok bergerak dari -xmax melalui nol sampai +xmax. Ini kemudian berbalik arah, kembali ke -xmax, dan terus berosilasi bolak-balik. Kita akan mempelajari osilasi ini secara lebih rinci dalam Bab 15. Untuk saat ini, mari kita selidiki usaha yang dilakukan oleh pegas pada balok dengan sedikit bagian dari satu osilasi.
Misalkan balok telah didorong ke kiri ke posisi -xmax dan kemudian dilepaskan. Kita mengidentifikasi balok sebagai sistem dan kita menghitung kerja Ws yang dilakukan oleh gaya pegas pada balok sebagaimana balok bergerak dari xi = -xmax ke xf = 0. Menerapkan Persamaan 7.8 dan asumsi balok dapat dimodelkan sebagai sebuah partikel, kita memperoleh
(7.11)
di mana kita telah menggunakan integral 
dengan n = 1. Usaha yang dilakukan oleh gaya pegas positif karena gaya adalah dalam arah yang sama seperti perpindahan (keduanya ke kanan). Karena balok tiba di x = 0 dengan beberapa kecepatan, ia akan terus bergerak sampai mencapai posisi +xmax. Usaha yang dilakukan oleh gaya pegas pada balok ketika bergerak dari xi = 0 sampai xf = xmax adalah Ws =- ½ kx2max. Usaha ini negatif karena bagian dari gerakan gaya pegas adalah ke kiri dan yang perpindahan ke kanan. Oleh karena itu, kerja total yang dilakukan oleh gaya pegas pada balok ketika bergerak dari xi = -xmax ke xf = xmax adalah nol.
Gambar 7.9d adalah plot Fs terhadap x. Usaha dihitung dalam Persamaan 7.11 adalah area segitiga berbayang, sesuai dengan perpindahan dari -xmax ke 0. Karena segitiga memiliki basis xmax dan tinggi kxmax, wilayahnya adalah ½ kx2max, sesuai dengan kerja yang dilakukan oleh pegas seperti yang diberikan oleh Persamaan 7.11.
Jika balok mengalami suatu pemindahan sembarang dari x = xi ke x= xf, usaha yang dilakukan oleh gaya pegas di blok adalah:
(Usaha yang dilakukan oleh pegas) (7.12)
Dari Persamaan 7.12, kita melihat bahwa usaha yang dilakukan oleh gaya pegas adalah nol untuk setiap gerak yang berakhir di mana ia mulai (xi = xf). Kita akan memanfaatkan hasil penting ini dalam Bab 8 ketika kita menggambarkan gerak sistem ini secara lebih rinci.
Persamaan 7.11 dan 7.12 menggambarkan usaha yang dilakukan oleh pegas pada balok. Sekarang mari kita perhatikan usaha yang dilakukan pada balok oleh agen eksternal sebagaimana agen menerapkan gaya pada balok dan balok bergerak sangat lambat dari xi = -xmax ke xf = 0 seperti pada Gambar 7.10. Kita dapat menghitung usaha ini dengan mencatat bahwa pada setiap nilai posisi, diterapkan gaya Fapp besarnya sama dan berlawanan arah dengan gaya pegas Fs, sehingga Fapp = Fapp i = –Fs = – (- kx i) =kxi . Oleh karena itu, usaha yang dilakukan oleh gaya yang diberikan (agen eksternal) ini pada sistem balok adalah
Usaha ini sama dengan negatif dari kerja yang dilakukan oleh gaya pegas untuk perpindahan ini (Persamaan 7.11). Usaha negatif karena agen eksternal harus mendorong balok pada pegas untuk mencegah peregangan, dan arah ini berlawanan arah terhadap perpindahan dari titik penerapan gaya sebagaimana balok bergerak dari -xmax ke 0.
Untuk perpindahan blok sembarang, usaha yang dilakukan pada sistem oleh agen eksternal adalah:
(7.13)
Perhatikan bahwa persamaan ini adalah negatif dari Persamaan 7.12. (Serway,2010:171-175)
Tinggalkan komentar