Contoh Soal UTBK Matematika 2023

16. Sebuah bola dilemparkan dari atas sebuah gedung dengan kecepatan awal 10 m/s dan sudut elevasi 60°. Jika tinggi gedung adalah 20 m, maka jarak horizontal bola dari gedung saat bola menyentuh tanah adalah…

A. 25 m
B. 30 m
C. 35 m
D. 40 m
E. 45 m

Pembahasan:
Kita dapat menggunakan persamaan gerak parabola untuk menghitung jarak horizontal bola dari gedung saat menyentuh tanah. Dalam hal ini, kecepatan awal bola memiliki komponen horizontal dan vertikal sebagai berikut:
vx = v cos θ = 10 cos 60° = 5 m/s
vy = v sin θ = 10 sin 60° = 5√3 m/s
Di mana v adalah kecepatan awal bola dan θ adalah sudut elevasi.
Kita perlu mencari waktu yang diperlukan bola untuk mencapai tanah. Kita bisa menggunakan persamaan gerak vertikal untuk bola:
y = yo + voyt – 1/2gt²
Di mana y adalah posisi vertikal bola, yo adalah posisi awal bola, voy adalah kecepatan awal bola dalam arah vertikal, g adalah percepatan gravitasi (9.8 m/s²), dan t adalah waktu.

Karena bola dilemparkan dari atas gedung, maka posisi awal bola adalah yo = 20 m. Karena bola tidak memiliki kecepatan vertikal saat mencapai tanah, maka posisi bola saat menyentuh tanah adalah y = 0. Kita substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam persamaan tersebut dan mencari waktu t:
0 = 20 + 5√3t – 1/2(9.8)t²
4.9t² – 5√3t – 40 = 0
Kita bisa menggunakan rumus kuadrat untuk mencari waktu t:
t = [-(-5√3) ± √((-5√3)² – 4(4.9)(-40))]/(2(4.9))
t ≈ 4.04 atau t ≈ -1.42
Karena waktu tidak bisa negatif, maka waktu yang diperlukan bola untuk mencapai tanah adalah t ≈ 4.04 s.
Sekarang kita dapat menghitung jarak horizontal bola dari gedung saat menyentuh tanah menggunakan persamaan gerak horizontal:
x = xo + vxt
Di mana x adalah jarak horizontal bola dari gedung saat menyentuh tanah, xo adalah posisi awal bola dalam arah horizontal (yaitu 0), vx adalah kecepatan awal bola dalam arah horizontal, dan t adalah waktu yang diperlukan bola untuk mencapai tanah. Kita substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam persamaan tersebut:
x = 0 + 5 × 4.04 ≈ 20.2 m
Maka, jarak horizontal bola dari gedung saat menyentuh tanah adalah sekitar 20.2 m. Pilih jawaban paling mendekati.

Baik, berikut adalah contoh soal UTBK 2022 dan pembahasannya selanjutnya:

17. Sebuah kubus dengan panjang sisi 5 cm diwarnai hijau pada semua sisinya. Kemudian kubus tersebut dipotong menjadi kubus-kubus kecil dengan panjang sisi 1 cm. Jumlah kubus kecil yang tidak memiliki sisi yang diwarnai hijau adalah…

A. 36
B. 48
C. 56
D. 64
E. 72

Pembahasan:
Kita dapat memecah kubus besar menjadi kubus-kubus kecil dengan panjang sisi 1 cm dengan cara membagi setiap sisi kubus besar menjadi kubus-kubus kecil dengan panjang sisi 1 cm. Karena kubus besar mempunyai enam sisi, maka kita dapat membagi kubus besar menjadi 6×5×5 = 150 kubus kecil.

Untuk menentukan jumlah kubus kecil yang tidak diwarnai hijau pada semua sisinya, kita perlu memeriksa kubus-kubus kecil tersebut satu per satu. Kita dapat memeriksa masing-masing kubus kecil yang berada di sudut-sudut kubus besar. Di setiap sudut kubus, terdapat delapan kubus kecil yang bertemu di titik sudut tersebut. Kita dapat melihat bahwa pada setiap titik sudut kubus besar, terdapat tiga kubus kecil yang tidak diwarnai hijau pada semua sisinya.
Untuk menentukan jumlah titik sudut pada kubus besar, kita dapat menggunakan rumus:
jumlah titik sudut = 8
Maka, jumlah kubus kecil yang tidak diwarnai hijau pada semua sisinya adalah:
jumlah kubus kecil = jumlah titik sudut × jumlah kubus kecil yang tidak diwarnai hijau pada setiap titik sudut
jumlah kubus kecil = 8 × 3 = 24
Jadi, jumlah kubus kecil yang tidak diwarnai hijau pada semua sisinya adalah 24. Maka, jawaban yang benar adalah tidak ada pada pilihan.

Berikut adalah beberapa contoh soal UTBK yang sering muncul dan pembahasannya:

19. Sebuah mobil melaju dengan kecepatan rata-rata 60 km/jam selama 5 jam. Berapa jarak yang telah ditempuh mobil tersebut?

Pembahasan:
Kita dapat menggunakan rumus jarak = kecepatan × waktu untuk menghitung jarak yang telah ditempuh mobil tersebut. Kita substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumus tersebut:
jarak = 60 km/jam × 5 jam
jarak = 300 km
Maka, jarak yang telah ditempuh mobil tersebut adalah 300 km.

20. Sebuah lingkaran memiliki jari-jari sebesar 7 cm. Berapa luas lingkaran tersebut?

Pembahasan:
Kita dapat menggunakan rumus luas lingkaran = π × r² untuk menghitung luas lingkaran tersebut. Kita substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumus tersebut:
luas lingkaran = π × (7 cm)²
luas lingkaran = 22/7 × 49 cm²

Maka:
luas lingkaran ≈ 154 cm²
Maka, luas lingkaran tersebut adalah sekitar 154 cm².