4.4 Analisis Model: Partikel dalam Gerak Melingkar Beratutan
Hal ini sering mengejutkan bagi siswa untuk menemukan bahwa meskipun sebuah benda bergerak pada kecepatan konstan di jalan melingkar, masih memiliki percepatan. Untuk melihat mengapa, mempertimbangkan definisi persamaan untuk percepatan, a = dv/dt (Persamaan 4.5). Perhatikan bahwa percepatan tergantung pada perubahan kelajuan. Karena kelajuan adalah besaran vektor, percepatan dapat terjadi dalam dua cara seperti yang disebutkan dalam bagian 4.1: dengan perubahan besarnya kelajuan dan dengan perubahan arah kelajuan. Situasi terakhir terjadi untuk obyek bergerak dengan kelajuan konstan pada lintasan melingkar. Konstanta-besarnya vektor kelajuan selalu bersinggungan dengan jalur objek dan tegak lurus terhadap jari-jari lintasan melingkar.
Kita sekarang menunjukkan bahwa vektor percepatan gerak melingkar seragam selalu tegak lurus ke lintasan dan selalu menunjuk ke arah pusat lingkaran. Jika itu tidak benar, akan ada komponen paralel percepatan ke lintasan dan karena itu sejajar dengan vektor kelajuan. Seperti komponen percepatan akan menyebabkan perubahan dalam kecepatan partikel di sepanjang lintasan. Situasi ini, bagaimanapun, adalah tidak konsisten dengan setup kita dari situasi: partikel bergerak dengan kecepatan konstan di sepanjang lintasan. Oleh karena itu, untuk gerak melingkar seragam, vektor percepatan hanya dapat memiliki komponen tegak lurus ke lintasan, yang menuju pusat lingkaran.
Mari sekarang kita temukan besarnya percepatan partikel. Pertimbangkan diagram posisi dan vektor kelajuan pada Gambar 4.15b. Angka tersebut juga menunjukkan vektor yang mewakili perubahan posisi ฮr untuk interval waktu yang sembarang. Partikel mengikuti jalur melingkar dengan jari-jari r, bagian yang ditunjukkan oleh kurva putus-putus. Partikel di A saat ti, dan kelajuannya pada saat itu adalah vi, sedangkan di B pada beberapa waktu tf kemudian, dan kecepatannya pada saat itu adalah vf. Mari juga kita menganggap vi dan vf hanya berbeda dalam arah, besarannya adalah sama (yaitu, vi = vf = v karena gerak melingkar seragam).
Pada Gambar 4.15c, vektor kelajuan pada Gambar 4.15b telah digambar ulang ekor ke ekor. Vektor ฮv menghubungkan ujung vektor, mewakili penjumlahan vektor vf = vi + ฮv. Dalam kedua gambar 4.15b dan 4.15c, kita dapat mengidentifikasi segitiga yang membantu kita menganalisa gerak. Sudut ฮฮธ antara dua vektor posisi pada Gambar 4.15b adalah sama dengan sudut antara vektor kelajuan pada Gambar 4.15c karena vektor kelajuan v selalu tegak lurus terhadap vektor posisi r. Oleh karena itu, dua segitiga yang sebangun. (Dua segitiga yang sebangun jika sudut antara dua belah pihak adalah sama untuk kedua segitiga dan jika rasio panjang sisi ini sama.) Kita sekarang dapat menulis hubungan antara panjang sisi untuk dua segitiga di gambar 4.15b dan 4.15c:
di mana v = vi = vf dan r = ri = rf. Persamaan ini dapat diselesaikan untuk |ฮv|, dan ekspresi yang diperoleh dapat disubstitusikan ke Persamaan 4.4, aavg = ฮv/โt, untuk memberikan besarnya percepatan rata-rata selama interval waktu untuk partikel bergerak dari A ke B:
Sekarang bayangkan bahwa poin A dan B pada Gambar 4.15b menjadi sangat dekat bersama-sama. Seperti A dan B saling mendekati, โt mendekati nol, |ฮr| mendekati jarak yang ditempuh oleh partikel di sepanjang jalan melingkar, dan rasio |ฮr|/โt mendekati kecepatan v. Selain itu, percepatan rata-rata menjadi percepatan sesaat pada titik A. Oleh karena itu, dalam batas โt โ 0, besarnya percepatan adalah:
Percepatan alam ini disebut percepatan sentripetal (sentripetal berarti menuju pusat). Subscript pada simbol percepatan mengingatkan kita bahwa itu percepatan sentripetal.
Persamaan 4.14 dan 4.15 harus digunakan ketika model partikel dalam gerak melingkar seragam diidentifikasi sesuai untuk situasi tertentu.
4.5 Percepatan Tangensial dan Radial
a = ar + at (Total kelajuan) (4.16)
Komponen percepatan tangensial menyebabkan perubahan dalam kecepatan v partikel. Komponen ini sejajar dengan kelajuan sesaat, dan besarnya diberikan oleh:
Komponen percepatan radial timbul dari perubahan arah dari vektor kelajuan dan diberikan oleh:
dimana r adalah jari-jari kelengkungan jalan di titik yang dimaksud. Kami menyadari besarnya komponen radial dari percepatan sebagai percepatan sentripetal dibahas dalam Bagian 4.4. Tanda negatif dalam Persamaan 4.18 menunjukkan bahwa arah percepatan sentripetal adalah menuju pusat lingkaran mewakili jari-jari kelengkungan. Arahnya berlawanan dari vektor satuan radial
r, yang selalu menunjuk jauh dari pusat lingkaran.Karena ar dan at pada adalah komponen vektor tegak lurus a, itu berarti bahwa besarnya adalah
Dalam gerak melingkar beraturan, dimana v adalah konstan, at= 0 dan percepatan selalu radial seperti yang dijelaskan dalam Bagian 4.4. Dengan kata lain, gerak melingkar beraturan merupakan kasus khusus dari gerak sepanjang jalur melengkung umum. Selanjutnya, jika arah v tidak berubah, tidak ada percepatan radial dan gerak adalah dalam satu dimensi (dalam hal ini, ar= 0, tetapi atmungkin nol).
4.6 Kelajuan Relatif dan Percepatan Relatif
Mari kita konsep situasi sampel di mana akan ada pengamatan yang berbeda untuk pengamat yang berbeda. Pertimbangkan dua pengamat A dan B sepanjang garis bilangan pada Gambar 4.18a. Pengamat A terletak di titik asal xA dalam sumbu satu dimensi, sedangkan pengamat B berada pada posisi xA = -5. Kami menunjukkan variabel posisi sebagai xA karena pengamat A di asal sumbu ini. Kedua pengamat mengukur posisi titik P, yang terletak di xA= +5. Misalkan pengamat B memutuskan bahwa ia terletak di titik asal sumbu xBseperti pada Gambar 4.18b. Perhatikan bahwa dua pengamat setuju pada nilai posisi titik P. Pengamat Sebuah titik melihat P terletak pada posisi dengan nilai +5, sedangkan pengamat B klaim itu terletak pada posisi dengan nilai +10. Kedua pengamat benar, meskipun mereka membuat
pengukuran yang berbeda. Pengukuran mereka berbeda karena mereka membuat pengukuran dari kerangka acuan yang berbeda.
Bayangkan sekarang bahwa pengamat B pada Gambar 4.18b bergerak ke kanan sepanjang sumbu xB. Sekarang dua pengukuran bahkan lebih berbeda. Observer Sebuah titik mengklaim P tetap diam pada posisi dengan nilai +5, sedangkan pengamat B mengklaim posisi P terus berubah terhadap waktu, bahkan melewatinya dan bergerak di belakangnya! Sekali lagi, kedua pengamat benar, dengan perbedaan dalam pengukuran mereka timbul akibat kerangka acuan mereka yang berbeda.
Kami mengeksplorasi fenomena ini lebih lanjut dengan mempertimbangkan dua pengamat melihat seseorang yang berjalan di jalan lingkar bergerak di bandara di Gambar 4.19. Wanita berdiri di lingkar bergerak melihat orang bergerak dengan kecepatan berjalan normal. Wanita mengamati dari lantai stasioner melihat orang bergerak dengan kecepatan yang lebih tinggi karena kecepatan jalan lingkar dikombinasikan dengan kecepatan berjalan. Kedua pengamat melihat orang yang sama dan tiba di nilai yang berbeda untuk kecepatan. Keduanya benar, perbedaan hasil pengukuran mereka dari kecepatan relatif dari kerangka acuan mereka yang berbeda.
Dalam situasi yang lebih umum, mempertimbangkan partikel yang terletak di titik P pada Gambar 4.20. Bayangkan bahwa gerakan partikel ini sedang digambarkan oleh dua pengamat, pengamat A dalam kerangka acuan SA tetap relatif terhadap Bumi dan pengamat kedua B dalam kerangka acuan SB bergerak ke kanan relatif terhadap SA (dan karena itu relatif terhadap Bumi ) dengan kecepatan konstan VBA. Dalam diskusi ini kecepatan relatif, kita menggunakan notasi ganda subscript, subskrip pertama mewakili apa yang sedang diamati, dan yang kedua merupakan yang melakukan pengamatan tersebut. Oleh karena itu, notasi VBA berarti kecepatan pengamat B (dan bingkai SB terlampir) yang diukur dengan pengamat A. Dengan notasi ini, pengamat B mengukur A akan bergerak ke kiri dengan kecepatan VAB=-VBA. Untuk tujuan diskusi ini, mari kita tempatkan setiap pengamat pada tempatnya masing-masing.
Kita menentukan waktu t =0 sebagai instan di mana asal kedua kerangka acuan dua bertepatan dalam ruang. Oleh karena itu, pada waktu t, asal kerangka acuan akan dipisahkan oleh jarak vBAt. Kita tandai posisi P dari partikel relatif terhadap pengamat A dengan vektor posisi rPA dan relatif terhadap pengamat B dengan vektor posisi rPB, keduanya pada waktu t. Dari Gambar 4.20, kita melihat bahwa vektor rPAdan rPB terkait satu sama lain melalui ekspresi:
rPA = rPB + vBA.t (4.19)
Dengan menurunkan Persamaan 4.19 terhadap waktu, ingat bahwa vBAadalah konstan, kita memperoleh:
Di mana uPA adalah kelajuan partikel pada P diukur dengan pengamat A dan uPB adalah kelajuannya diukur dengan B. (Kita menggunakan simbol u untuk kelajuan partikel dari v, yang telah kita digunakan untuk kelajuan relatif dua kerangka acuan.) Persamaan 4.19 dan 4.20 dikenal sebagai persamaan transformasi Galilean. Mereka berhubungan posisi dan kelajuan dari sebuah partikel yang diukur oleh para pengamat dalam gerak relatif. Perhatikan pola subscript dalam Persamaan 4.20. Ketika kelajuan relatif ditambahkan, subscript dalam (B) adalah sama dan yang luar (P, A) sesuai dengan subscript pada kecepatan di sebelah kiri dari persamaan.
Meskipun para pengamat dalam dua kerangka mengukur kelajuan yang berbeda untuk partikel, mereka mengukur percepatan yang sama ketika vBAadalah konstan. Kita dapat memverifikasi bahwa dengan mengambil turunan waktu Persamaan 4.20:
Karena vBA adalah konstan, dvBA /dt = 0. Oleh karena itu, kita menyimpulkan bahwa aPA = aPBkarena aPA= duPA/dt dan aPB= duPB/dt. Artinya, percepatan partikel yang diukur oleh pengamat dalam satu kerangka acuan adalah sama seperti yang diukur oleh pengamat lain bergerak dengan kelajuan konstan relatif terhadap kerangka pertama (Serway, 2010:86-91).
Tinggalkan komentar