Hukum Kepler dan Gravitasi Newton

Pada bagian ini kita akan mempelajari hukum Kepler tentang gerak planet. Kepler melakukan pengamatan pada gerak planet-planet dan mengambil kesimpulan seperti yang kita kenal sebagai hukum Kepler. Hukum Kepler bersifat empiris karena diturunkan dari pengamatan. Hukum Kepler
ada tiga yaitu :
1. Semua planet bergerak dalam orbit elips dengan matahari di salah satu fokusnya.
2. Garis yang menghubungkan tiap planet ke matahari menyapu luasan yang sama dengan waktu yang sama.
3. Kuadrat periode tiap planet sebanding dengan pangkat tiga jarak rata-rata planet dari matahari.
Hukum Kepler pertama dapat ditunjukkan pada Gambar (2.1).

Gambar 2.1. Hukum Kepler yang pertama menyatakan planet bergerak dengan orbit berbentuk elips, denganmatahari sebagai di salah satu titik fokusnya. Gambar sebelah kanan adalah sebuah elips dengan sumbu mayor dan sumbu minornya. Panjang F-C-F selalu tetap, dengan sembarang titik pada elips

Titik F dinamakan titik fokus. Jarak a dinamakan sumbu semimayor dan  b dinamakan sumbu semiminor. Jika titik fokus digerakkan saling mendekat, elips makin menyerupai lingkaran. Lingkaran sebenarnya adalah keadaan istimewa dari elips yaitu bila kedua titik fokusnya berimpit. Titik P dinamakan  perihelion, bila sebuah planet berada di titik ini maka dikatakan planet berada di jarak terdekatnya.  Titik A dinamakan aphelion dan jika sebuah planet berada di titik ini dikatakan planet  berada di titik terjauhnya.

Hukum Kepler kedua dapat dijelaskan pada Gambar (2.2).

Gambar 2.2 Luasan bidang AMB sama luasnya dengan CMD. Busur AB dicapai dalam selang waktu yang sama dengan busur CD yaitu selama ∆t. Kecepatan saat planet dekat dengan matahari lebih cepat dibandingkan saat jauh dari matahari.

Sebuah planet bergerak lebih cepat pada saat dekat dengan matahari dibandingkan saat jauh dari matahari. Lihat Gambar (2.2). Luasan AMB luasnya sama dengan luasan CMD. Busur AB lebih panjang dari busur CD sedangkan waktu yang diperlukan untuk melintasi busur AB sama dengan waktu untuk melintasi CD. Jika demikian, mana yang lebih cepat saat melintasi busur AB atau saat melintasi busur CD?

Hukum Kepler ketiga dapat dituliskan dalam bentuk
persamaan matematis sebagai berikut :

T = periode
r = jari-jari rata planet mengelilingi matahari

Gravitasi Newton

Kita telah membahas  tentang massa dan berat. Masih ingatkah apa perbedaan antara keduanya? Mari kita lihat kembali ungkapan hukum Newton yang kedua untuk benda yang jatuh ke bawah gaya yang bekerja pada benda dinamakan gaya gravitasi. Percepatan yang dialami benda disebabkan oleh gaya gravitasi, sehingga percepatan benda tersebut disebut percepatan gravitasi. Berapa besanya dan bagaimana arahnya?

Mari kita lihat dulu apa yang disebut sebagai gaya gravitasi.

1. Gaya Gravitasi

Gaya gravitasi adalah gaya tarik-menarik antara dua benda yang bermassa. Gaya antara  dua massa m1 dan m2 berjarak  r₁₂ adalah:

……(2)

Gambar 2.3 Pasangan gaya gravitasi dan arahnya. Benda satu akan memberikan gaya aksi F12 kepada benda kedua, benda kedua akan memberikan gaya reaksi F21 kepada benda satu. Besar F12 = F21 tetapi arahnya berlawanan.

2. Medan Gravitasi

Mari kita tinjau sebuah benda bermassa m₁ kemudian kita letakkan benda kedua bermassa m₂ pada jarak sejauh  r. Gaya gravitasi kedua benda itu dapat dihitung menurut rumus di atas. Benda kedua akan merasakan  gaya gravitasi menuju ke benda pertama. Besarnya gaya persatuan massa yang dirasakan benda kedua adalah

 ……….(3)

Gaya gravitasi tiap satuan massa disebut medan gravitasi. Tampak bahwa besar medan gravitasi hanya tergantung pada massa sumber dan jarak.

Kita bisa mengatakan medan gravitasi menunjukkan suatu ruangan di sekitar benda bermassa, sehingga di ruangan itu benda bermassa yang lain akan merasakan gaya gravitasi persatuan massanya sama dengan besar medan gravitasi di ruangan itu. Atau benda lain akan mendapat percepatan gravitasi sama dengan  medan gravitasi di ruangan itu.

Misalkan bumi kita bermassa M_b dari sebuah satelit bermassa m. Benda di sekitar bumi akan mendapat percepatan gravitasi sebesar GM_b/r² , atau merasakan medan gravitasi sebesar itu dengan  arah menuju ke bumi. Besar medan yang dirasakan satelit tidak bergantung pada massa satelit, tetapi bergantung pada kuadrat jarak antara bumi dan satelit.

Gambar 2.4 Benda M mengakibatkan benda-benda bermassa di sekitarnya mengalami medan gravitasi. Besar medan gravitasi yang dialami tidak tergantung pada massa benda m tetapi bergantung pada jarak antara massa M dan massa m.

Hukum Kepler Menurut Newton

Newton menunjukkan bahwa pada umumnya bila sebuah benda bergerak dipengaruhi oleh gaya sentral (gaya yang selalu mengarah ke pusat gaya) maka lintasan benda itu adalah elips, parabola,
atau hiperbola. Lintasan atau orbit yang berbentuk elips, disebut memiliki orbit tertutup, sedang orbit hiperbola dan parabola dinamakan memiliki orbit terbuka. Salah satu contoh gaya sentral adalah gaya gravitasi. Coba kalian perhatikan arah gaya gravitasi antara dua buah benda saling mendekati segaris
menuju pusat gaya, sedang besarnya gaya berbanding dengan 1/r2. Dengan demikian jelaslah hukum Kepler yang pertama yang menyatakan orbit planet berbentuk elips adalah akibat dari hukum gravitasi Newton.

Demikian juga dengan hukum Kepler yang kedua, menurut Hukum Newton gaya yang diberikan oleh matahari pada planet diarahkan ke matahari. Planet ditarik ke arah matahari, karena arah gaya sepanjang garis dari planet ke matahari sedangkan arah gerakan tegak lurus dengan arah gaya maka gaya tersebut tidak memiliki torsi. Akibat tidak memiliki torsi atau torsinya nol maka momentum sudut planet kekal. Kalian akan mempelajari kaitan antara torsi dengan momentum sudut pada bab dinamika rotasi.

Gambar 2.5 Arah gaya yang dialami planet menuju ke matahari, dengan demikian vektor r dan F sejajar sehingga a torsi planet nol. Kecepatan planet sejajar dengan orbit planet arah momentum sudut ke arah atas. Torsi nol maka momentum sudutnya kekal.

Sebuah planet bergerak mengelilingi matahari. Dalam waktu  dt  maka planet bergerak sejauh  vdt dan menyapu luasan sebesar  pada Gambar (2.5), yang merupakan setengah luas jajaran genjang yang dibentuk  oleh vektor posisi r dan v∆t  atau besarnya jajaran genjang yaitu dA adalah  r x v∆t, dapat dituliskan sebagai:

Kita nanti akan mengetahui bahwa besaran r x mv adalah besaran momentum sudut L. Dengan demikian, luas yang disapu adalah:

 ………(5)

Oleh karena momentum sudut  L konstan maka luasan yang disapu dalam selang waktu tertentu ∆t yang sama akan sama untuk semua bagian orbit. Hal ini sama dengan bunyi hukum Kepler yang kedua.

Mengapa planet-planet dapat bergerak mengelilingi matahari? Pastilah ada gaya yang menarik planet sehingga tetap berada di garis edarnya. Kita telah mengetahui gaya yang menarik planet-planet itu adalah gaya gravitasi antara matahari dengan planet-planet. Mari kita tinjau gerak planet yang kita tinggali yaitu planet bumi.

Gambar 2.6 Luas yang dibentuk selama waktu ∆t sama dengan setengah luas jajaran genjang dengan sisi r dan ν∆t

Apabila planet bumi bermassa m mula-mula bergerak dengan kelajuan v, bila tidak ada gaya yang menarik bumi, planet akan tetap bergerak lurus. Bumi dapat bergerak melingkari matahari karena adanya gaya sentripetal. Gaya sentripetalnya berupa gaya gravitasi antara bumi dan matahari.
Bumi yang bergerak melingkar memiliki gaya sentrifugal yang besarnya sebanding dengan kecepatannya dan jaraknya dari pusat putaran arahnya menuju keluar lingkaran. Karena
keseimbangan antara gaya  sentripetal dan gaya sentrifugal, maka bumi akan bergerak dengan mengelilingi matahari dengan orbit tertutup. Bila massa matahari adalah M, gaya-gaya yang bekerja pada bumi dapat dituliskan sebagai:

Dari persamaan di atas bisa kita dapatkan:

………..(6)

Gambar 2.7 Bumi mengelilingi matahari. Gaya yang dialami adalah gaya sentrifugal karena bumi berotasi dan gaya sentripetal berupa gaya gravitasi yang menahan bumi sehingga tidak keluar.

Mari kita tinjau periode bumi yaitu T. Selama waktu  T bumi menempuh perjalanan mengelilingi matahari satu kali putaran penuh,maka jarak yang dilalui adalah keliling lingkaran sebesar 2πr. Kelajuan bumi adalah

……….(7)

Kita masukan persamaan (7) ke persamaan (6)  kita mendapatkan

Dan kita akan memperoleh bahwa:

……….(8)

Kita telah mendapatkan hukum ketiga Kepler.

Bagaimana untuk orbit planet yang tidak berbentuk lingkaran? Bila orbit planet tidak berupa lingkaran tetapi elips maka jari-jari  r diganti jarak rata-rata antara planet dan matahari, yang besarnya sama dengan sumbu semimayor elips.

(Fisika SMA Kelas XI, Dwi Satya Palupi dkk, 2009 Hal. 37-47)