Analisis Model: Gelombang Berjalan

Gelombang sinusoidal adalah contoh sederhana dari gelombang kontinu periodik dan dapat digunakan untuk membangun gelombang yang lebih kompleks (lihat Bagian 18.8). Kurva coklat Gambar 16.7 merupakan sebuah snapshot dari gelombang sinusoidal berjalan pada t=0, dan kurva biru mewakili snapshot dari gelombang pada beberapa waktu t kemudian. Bayangkan dua jenis gerak yang dapat terjadi. Pertama, seluruh gelombang pada Gambar 16.7 bergerak ke kanan sehingga kurva coklat bergerak ke kanan dan akhirnya mencapai posisi kurva biru. Gerakan ini adalah gerakan gelombang. Jika kita fokus pada satu elemen dari media, seperti elemen pada x = 0, kita melihat bahwa setiap elemen bergerak naik dan turun sepanjang sumbu y dalam gerak harmonik sederhana. Gerakan ini adalah gerakan dari elemen medium. Hal ini penting untuk membedakan antara gerakan gelombang dan gerakan elemen medium.

Dalam bab-bab awal buku ini, kita mengembangkan beberapa model analisis berdasarkan tiga model penyederhanaan: partikel, sistem, dan objek yang kaku. Dengan pengantar kita ke gelombang, kita dapat mengembangkan model penyederhanaan baru, gelombang, yang akan memungkinkan kita untuk mengeksplorasi model analisis yang lebih untuk memecahkan masalah. Sebuah partikel yang ideal memiliki ukuran nol. Kita bisa membangun objek fisik dengan ukuran nol sebagai kombinasi dari partikel. Oleh karena itu, partikel dapat dianggap sebagai balok bangunan dasar. Gelombang yang ideal memiliki frekuensi tunggal dan panjang tak terhingga, yaitu, gelombang ada di seluruh alam semesta. (Sebuah gelombang dengan panjang terbatas tentu semestinya memiliki campuran frekuensi.) Bila konsep ini dieksplorasi dalam Pasal 18.8, kita akan menemukan bahwa gelombang yang ideal dapat dikombinasikan untuk membangun gelombang yang kompleks, seperti kita menggabungkan partikel.

Dalam apa yang berikut, kita akan mengembangkan fitur pokok dan representasi matematis dari model analisis gelombang berjalan. Model ini digunakan dalam situasi di mana gelombang bergerak melalui ruang tanpa berinteraksi dengan gelombang atau partikel lainnya.

Gambar 16.8a (halaman 470) menunjukkan snapshot dari gelombang bergerak melalui medium. Gambar 16.8b menunjukkan grafik posisi salah satu unsur media sebagai fungsi waktu. Sebuah titik di Gambar 16.8a di mana perpindahan elemen dari posisi normal tertinggi disebut puncak gelombang. Titik terendah disebut lembah. Jarak dari satu puncak ke puncak berikutnya disebut panjang gelombang l (huruf Yunani lambda). Secara umum, panjang gelombang adalah jarak minimum antara dua titik identik pada gelombang yang berdekatan seperti yang ditunjukkan pada Gambar 16.8a.

Informasi yang sama lebih sering diberikan oleh kebalikan dari periode, yang disebut frekuensi f. Secara umum, frekuensi gelombang periodik adalah jumlah puncak (atau lembah, atau tempat lain pada gelombang) yang melewati suatu titik tertentu dalam interval satuan waktu. Frekuensi gelombang sinusoidal berhubungan dengan periode dengan ekspresi:

Posisi maksimum unsur medium relatif terhadap posisi keseimbangannya disebut amplitudo A dari gelombang seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 16.8.

Perhatikan gelombang sinusoidal pada Gambar 16.8a, yang menunjukkan posisi gelombang pada t = 0. Karena gelombang sinusoidal, kita berharap fungsi gelombang pada waktu ini dinyatakan sebagai y(x,0) = A sin ax, dimana A adalah amplitudo dan a adalah konstanta yang akan ditentukan. Pada x = 0, kita melihat bahwa y (0, 0) = A sin a(0) = 0, konsisten dengan Gambar 16.8a. Nilai berikutnya dari x untuk y bernilai nol adalah x = l/2. Oleh karena itu,
y(l/2, 0) = A sin (al/2) = 0

Menurut definisi, gelombang berjalan melalui perpindahan ∆x yang sama dengan satu  panjang gelombang l dalam interval waktu ∆t dari satu periode T. Oleh karena itu, kecepatan gelombang, panjang gelombang, dan periode terkait dengan ekspresi:

Kita dapat mengekspresikan fungsi gelombang dalam bentuk yang nyaman dengan mendefinisikan dua kuantitas lain, bilangan gelombang sudut k (biasanya disebut bilangan gelombang) dan frekuensi sudut w: