TORSI DAN BENDA TEGAR DENGAN TORSI TOTAL

Sainsped
Sainsped
•Fisika•7 menit baca

 10.6 Torsi

Dalam bab ini, kita telah mempelajari analogi gerak rotasi gerak translasi di bidang kinematika dan energi. Sekarang mari kita bahas analogi untuk gaya dengan menyelidiki penyebab perubahan gerak rotasi. Bayangkan mencoba untuk memutar pintu dengan menerapkan gaya yang besarnya F tegak lurus terhadap permukaan pintu dekat engsel dan kemudian pada berbagai jarak dari engsel. Anda akan mencapai tingkat yang lebih cepat dari rotasi pada pintu dengan menerapkan gaya dekat gagang pintu dibandingkan dengan di dekat engselnya.

Ketika sebuah gaya yang bekerja pada benda tegar yang berputar pada sumbunya, objek cenderung berputar di sekitar sumbu. Kecenderungan gaya untuk memutar objek di sekitar sumbu diukur dengan suatu besaran yang disebut torsi t (huruf yunani tau). Torsi adalah vektor, tapi kita akan memperhatikan hanya besarnya di sini, kita akan mengeksplorasi sifat vektor dalam Bab 11.

Perhatikan kunci pada Gambar 10.12 bahwa kita ingin berputar di sekitar sumbu yang tegak lurus terhadap halaman dan melewati pusat baut. Menerapkan gaya F yang bekerja pada sudut f terhadap horizontal. Kita mendefinisikan besarnya torsi yang terkait dengan gaya F di sekitar sumbu melewati O oleh ekspresi:
t º rF sin f = Fd                                                     (10.19)

dimana r adalah jarak antara sumbu rotasi dan titik aksi F, dan d adalah jarak tegak lurus dari sumbu rotasi ke garis aksi F. (Garis aksi gaya adalah garis khayal yang memperluas keluar kedua ujung vektor  yang mewakili gaya. Garis putus-putus memanjang dari ekor F pada Gambar. 10.12 adalah bagian dari garis aksi F.) Dari kanan segitiga pada Gambar 10.12 dimana kunci sebagai bidang miring, kita melihat bahwa d = r sin f. Besaran d disebut lengan momen (atau lengan tuas) dari F.

Pada Gambar 10.12, satu-satunya komponen F yang cenderung menyebabkan rotasi kunci di sekitar suatu sumbu melalui O adalah F sin f, tegak lurus komponen garis yang ditarik dari sumbu rotasi ke titik penerapan gaya. Komponen horizontal F cos f, karena garis aksi melewati O, tidak memiliki kecenderungan untuk menghasilkan rotasi melewati sumbu yang melalui O. Dari definisi torsi, kecenderungan berputar meningkat seperti F meningkat dan sebagai d meningkat, yang menjelaskan mengapa lebih mudah untuk memutar pintu jika kita mendorong di gagang pintu daripada di titik dekat engsel. Kita juga ingin menerapkan dorongan kita sedekat mungkin tegak lurus ke pintu sehingga f dekat dengan 900. Mendorong menyamping di gagang pintu (f= 0) tidak akan menyebabkan pintu untuk memutar.


Jika dua atau lebih gaya bertindak pada benda tegar seperti pada Gambar 10.13, masing-masing cenderung menghasilkan rotasi sumbu melalui O. Dalam contoh ini, F2 cenderung untuk memutar objek searah jarum jam dan F1 cenderung putar ke kiri. Kami menggunakan konvensi bahwa tanda dari torsi yang dihasilkan dari gaya adalah positif jika kecenderungan balik kekuatan yang berlawanan dan negatif jika kecenderungan berputar searah jarum jam. Misalnya, pada Gambar 10.13, torsi yang dihasilkan dari F1, yang memiliki momen lengan d1, positif dan sama dengan +F1d1, torsi dari F2 adalah negatif dan sama dengan -F2d2. Oleh karena itu, torsi total terhadap suatu sumbu melalui O adalah:
∑t = t1 + t2 = F1d1 -F2d2

Torsi tidak harus berlawanan dengan gaya. Gaya dapat menyebabkan perubahan dalam gerak translasi seperti yang dijelaskan oleh hukum kedua Newton. Gaya juga dapat menyebabkan perubahan dalam gerak rotasi, tetapi efektivitas gaya dalam menyebabkan perubahan ini tergantung pada kedua besaran gaya dan lengan momen gaya, dalam kombinasi kita sebut torsi. Torsi memiliki satuan gaya kali panjang-newton meter dalam satuan SI- dan harus dilaporkan dalam satuan ini. Jangan bingung dengan torsi dan usaha, yang memiliki satuan yang sama tetapi konsep yang sangat berbeda.

10.7 Analisis Model: Benda Tegar Berdasarkan Torsi Total

Dalam Bab 5, kita belajar bahwa gaya total pada suatu benda menyebabkan percepatan pada benda dan percepatan sebanding dengan gaya total. Fakta-fakta ini merupakan dasar dari partikel di bawah model gaya total yang representasi matematis adalah hukum kedua Newton. Pada bagian ini, kita menunjukkan analogi rotasi hukum kedua Newton: percepatan sudut dari benda tegar yang berputar pada sumbu tetap sebanding dengan torsi total yang bekerja di sekitar sumbu. Sebelum membahas kasus yang lebih kompleks rotasi benda tegar, bagaimanapun, adalah instruktif pertama yang membahas kasus partikel bergerak dalam lintasan melingkar tentang beberapa titik tetap di bawah pengaruh gaya eksternal.


Perhatikan sebuah partikel dengan massa m berputar dalam lingkaran dengan jari-jari r di bawah pengaruh gaya tangensial total ∑Ftdan gaya radial total ∑Fr seperti yang ditunjukkan pada Gambar 10.15. Gaya radial total menyebabkan partikel bergerak dalam lintasan melingkar dengan percepatan sentripetal. Gaya tangensial memberikan percepatan tangensial at , dan
∑Ft= mat
Besarnya torsi total karena ∑Ft pada partikel di sekitar sumbu tegak lurus ke halaman melalui pusat lingkaran adalah:
∑t = ∑Ft r = (mat)r
Karena percepatan tangensial terkait dengan percepatan sudut melalui hubungan at= ra (Persamaan 10.11), torsi total dapat dinyatakan sebagai:
∑t = (mra) r = (mr2)a
Ingat, dari Persamaan 10.15 bahwa mr2 adalah momen inersia partikel di sekitar sumbu z yang melalui titik asal, sehingga:
∑t = Ia                                                                    (10.20)
Artinya, torsi total yang bekerja pada partikel sebanding dengan percepatan sudut nya, dan konstanta proporsionalitas adalah momen inersia. Perhatikan bahwa ∑t = Ia memiliki bentuk matematis yang sama dengan hukum kedua Newton tentang gerak, ∑F = ma.

Sekarang mari kita memperpanjang diskusi ini ke benda tegar bentuk sembarang yang berputar pada sumbu tetap seperti pada Gambar 10.16. Benda tersebut dapat dianggap sebagai jumlah tak terbatas elemen massa dm dari ukuran yang sangat kecil. Jika kita memberlakukan sistem koordinat Cartesian pada objek, masing-masing elemen massa berputar dalam lingkaran di sekitar titik asal dan masing-masing memiliki percepatan tangensial at yang disebabkan oleh gaya eksternal tangensial dFt. Untuk setiap elemen yang diberikan, kita tahu dari hukum kedua Newton bahwa:
dFt = (dm) at
Torsi dtext eksternal  terasosiasi dengan gaya dFt yang bekerja di sekitar titik asal dan besarnya diberikan oleh:
dtext = r dFt = atr dm
Karena at = ra, ekspresi untuk dtext menjadi:
dtext = ar2 dm
Meskipun masing-masing elemen massa dari benda tegar mungkin memiliki percepatan translasi at yang berbeda, mereka semua memiliki percepatan sudut yang sama. Dengan itu dalam pikiran, kita dapat mengintegrasikan ekspresi di atas untuk mendapatkan torsi eksternal total ∑text terhadap suatu sumbu melalui O karena gaya eksternal:
∑text = ∫ ar2 dm = a ∫ r2 dm                    
dimana a dapat dikeluarkan dari integral karena itu adalah umum untuk semua elemen massa. Dari Persamaan 10.17, kita tahu bahwa ∫ r2 dmadalah momen inersia benda terhadap sumbu rotasi melalui O, dan sehingga ekspresi untuk  ∑tekt menjadi:
∑text = Ia                                                     (10.21)

Persamaan ini untuk benda tegar adalah sama seperti yang ditemukan untuk sebuah partikel bergerak dalam lintasan melingkar (Persamaan 10,20). Torsi total sekitar sumbu rotasi sebanding dengan percepatan sudut dari objek, dengan faktor proporsionalitas menjadi I, besaran yang tergantung pada sumbu rotasi dan pada ukuran dan bentuk objek. Persamaan 10.21 adalah representasi matematis dari model analisis benda tegar di bawah torsi total, analogi dengan rotasi partikel di bawah gaya total.

Akhirnya, perhatikan bahwa hasil ∑text = Iajuga berlaku bila gaya yang bekerja pada elemen massa memiliki komponen radial serta komponen tangensial. Itu karena garis kerja dari semua komponen radial harus melewati sumbu rotasi, maka, semua komponen radial menghasilkan torsi nol di sekitar sumbu (Serway, 2010:290-293).

Artikel Terkait