6.4 Gerak dalam Kehadiran Pasukan resistif
Model 1: Gaya Resistif Sebanding dengan Kelajuan Obyek
Jika kita memodelkan gaya resistif bekerja pada suatu benda bergerak melalui cairan atau gas sebanding dengan kelajuan benda, gaya resistif dapat dinyatakan sebagai
R = -bv (6.2)
di mana b adalah konstanta yang nilainya tergantung pada sifat medium dan pada bentuk dan dimensi objek dan v adalah kelajuan dari objek relatif terhadap medium. Tanda negatif menunjukkan bahwa R adalah dalam arah yang berlawanan terhadap v.
Perhatikan sebuah bola kecil bermassa m dilepaskan dari keadaan diam dalam cairan seperti pada Gambar 6.13a. Dengan asumsi satu-satunya gaya yang bekerja pada bola adalah gaya resistif R =-bv dan gaya gravitasi Fg, mari kita jelaskan geraknya. Menerapkan hukum kedua Newton untuk gerak vertikal, memilih arah ke bawah menjadi positif, dan mencatat bahwa ∑Fy= mg – bv, kita peroleh:
mg – bv = ma (6.3)
di mana percepatan bola adalah ke bawah. Perhatikan bahwa percepatan a adalah sama dengan dv/dt memberikan:
(6.4)
Persamaan ini disebut persamaan diferensial, dan metode pemecahan mungkin tidak familiar bagi Anda sebelumnya. Perhatikan, bagaimanapun, bahwa pada awalnya ketika v = 0, besarnya gaya resistif juga nol dan percepatan bola hanya g. Saat t meningkat, besarnya gaya resistif bertambah dan percepatan menurun. Percepatan mendekati nol ketika besarnya gaya resistif mendekati berat bola. Dalam situasi ini, kecepatan bola mendekati kecepatan terminal vT.
Kecepatan terminal diperoleh dari Persamaan 6.4 dengan menetapkan dv/dt = 0, yang memberikan
mg- bvT = 0 atau vT = mg/b
Karena Anda mungkin belum terbiasa dengan persamaan diferensial, kita tidak akan menampilkan rincian solusi yang memberikan ekspresi untuk v untuk setiap waktu t. Jika v = 0 pada t = 0, ungkapan ini adalah:
v = mg/b (1 – e-bt/m) = vT (1 – e-t/
Fungsi ini dimuat pada Gambar 6.13c. Simbol e merupakan basis logaritma natural dan juga disebut bilangan Euler: e= 2,718 28. Konstanta waktu
t = m/b (huruf Yunani tau) adalah waktu di mana bola dilepaskan dari di t = 0 mencapai 63,2% dari kecepatan terminal, ketika t = t, Persamaan 6.5 menghasilkan v = 0.632vT. (bilangan 0,632 adalah 1- e-1.)
Substitusi ke Persamaan 6.4 kedua ungkapan ini untuk dv/dt dan ekspresi untuk v diberikan oleh Persamaan 6.5 menunjukkan bahwa solusi kita memenuhi persamaan diferensial.
Model 2: Gaya resistif Sebanding dengan Kecepatan Kuadrat Obyek
Untuk obyek bergerak dengan kecepatan tinggi melalui udara, seperti pesawat terbang, skydivers, mobil, dan bola, gaya resistif cukup baik dimodelkan sebanding dengan kuadrat dari kecepatan. Dalam situasi ini, besarnya gaya resistif dapat dinyatakan sebagai
(6.6)
di mana D adalah jumlah empiris berdimensi yang disebut koefisien hambatan,
r adalah densitas udara, dan A adalah luas penampang dari objek bergerak diukur dalam pesawat tegak lurus terhadap kecepatannya. Koefisien hambatan memiliki nilai sekitar 0,5 untuk benda bulat, tetapi dapat memiliki nilai sama dengan 2 untuk benda berbentuk tidak teratur. Mari kita menganalisa gerakan benda jatuh dengan gaya resistif udara yang besarnya
. Misalkan sebuah benda bermassa m dilepaskan dari yang lain. Seperti pada Gambar 6.14 menunjukkan, objek mengalami dua gaya eksternal: gaya gravitasi ke bawah Fg = mg dan gaya ke atas gaya resistif R. Oleh karena itu, besarnya gaya total adalah
(6.7)
di mana kita telah mengambil arah ke bawah untuk menjadi arah vertikal positif. Menggunakan gaya dalam Persamaan 6.7 dalam hukum kedua Newton, kita menemukan bahwa objek memiliki percepatan ke bawah yang besarnya:
(6.8)
Kita bisa menghitung kecepatan terminal vT dengan memperhatikan bahwa ketika gaya gravitasi seimbang dengan gaya resistif, gaya total pada benda adalah nol dan karena itu percepatannya adalah nol. Menetapkan a= 0 dalam Persamaan 6.8 memberikan:
(6.9)Tabel 6.1 daftar kecepatan terminal beberapa benda yang jatuh di udara.
Tinggalkan komentar