SISTEM TAK TERISOLASI (MOMENTUM SUDUT)
11.2 Analisis Model: Sistem Nonisolated (Momentum Sudut)
Bayangkan tiang kaku berada pada es di
kolam beku (Gambar. 11,3). Sebuah skater meluncur cepat menuju tiang, bertujuan
sedikit ke samping sehingga dia tidak memukulnya. Saat ia melewati tiang, ia
menjangkau ke sampingnya dan meraih itu, suatu tindakan yang menyebabkan dia
bergerak dalam lintasan melingkar di sekitar tiang. Sama seperti gagasan
momentum linear membantu kita menganalisis gerak translasi, rotasi sebuah
analog-momentum sudut-membantu kita menganalisis gerakan skater ini dan
benda-benda lain yang mengalami gerak rotasi.
Dalam Bab 9, kita mengembangkan bentuk
matematis momentum linear dan kemudian melanjutkan untuk menunjukkan bagaimana
besaran baru ini berharga dalam pemecahan masalah. Kita akan mengikuti prosedur
yang sama untuk momentum sudut.
Perhatikan sebuah partikel bermassa m
yang terletak pada posisi vektor r dan bergerak dengan momentum linier p
seperti pada Gambar 11.4. Dalam menggambarkan gerak translasi, kita menemukan
bahwa gaya total pada partikel sama dengan tingkat perubahan terhadap waktu
dari momentum linier, ∑F = dp/dt (lihat Persamaan. 9.3). Mari
kita mengambil cross product dari kedua sisi Persamaan 9.3 dengan r,
yang memberikan torsi total pada partikel di sisi kiri dari persamaan:
r x ∑F = ∑t = r x dp/dt
Sekarang mari kita tambahkan ke sisi
kanan persamaan (dr/dt) x p, yang adalah nol karena dr/dt = v dan v dan p
adalah paralel. Oleh karena itu,
∑t = r x dp/dt + dr/dt x p
Kita menyadari sisi kanan persamaan ini
sebagai turunan dari r x p (lihat Persamaan. 11,6). Oleh karena
itu,
∑t = d(r x p)/dt (11.9)
yang terlihat sangat mirip dalam bentuk
Persamaan 9.3, ∑F = dp/dt. Karena torsi memainkan peran yang sama
dalam gerak rotasi yang memaksa bermain di gerak translasi, hasil ini
menunjukkan bahwa kombinasi r x p harus memainkan peran yang sama
dalam gerak rotasi yang p bermain di gerak translasi. Kita menyebut
kombinasi ini momentum sudut partikel:
Momentum sudut sesaat L dari partikel relatif terhadap suatu sumbu melalui titik asal O didefinisikan oleh cross product dari partikel seketika vektor posisi r dan momentum linier sesaatnya p:
Momentum sudut sesaat L dari partikel relatif terhadap suatu sumbu melalui titik asal O didefinisikan oleh cross product dari partikel seketika vektor posisi r dan momentum linier sesaatnya p:
L = r x p (11.10)
Kita sekarang dapat menulis Persamaan
11.9 sebagai:
∑t = dL/dt (11.11)
yang merupakan analog rotasi hukum kedua
Newton, ∑F = dp/dt. Torsi menyebabkan momentum sudut L untuk
hanya mengubah sebagai gaya yang menyebabkan momentum linier p berubah.
Perhatikan bahwa Persamaan 11.11 berlaku
hanya jika ∑t dan L yang diukur pada sumbu yang sama.
Selain itu, ekspresi ini berlaku untuk setiap sumbu tetap dalam kerangka
inersia.
Satuan SI momentum sudut adalah kg.m2/s.
Perhatikan juga bahwa baik besarnya dan arah L tergantung pada pilihan sumbu.
Setelah aturan tangan kanan, kita melihat bahwa arah L tegak lurus
terhadap bidang yang dibentuk oleh r dan p. Dalam Gambar 11.4, r
dan p berada di bidang xy, sehingga L menunjuk dalam arah z.
Karena p = mv, besarnya L adalah:
L = mvr sin f (11.12)
dimana f adalah sudut antara r dan p.
Oleh karena itu, L adalah nol bila r sejajar dengan p (f = 0 atau 1800). Dengan kata lain,
ketika kelajuan translasi partikel adalah sepanjang garis yang melewati sumbu,
partikel memiliki nol momentum sudut terhadap sumbu. Di sisi lain, jika r
tegak lurus terhadap p (f = 900), maka L = mvr. Saat
itu, partikel bergerak persis seolah-olah berada di tepi sebuah roda berputar
pada sumbunya dalam pesawat bidang yang didefinisikan oleh r dan p.
Momentum sudut Sistem Partikel
Menggunakan teknik Bagian 9.7, kita dapat
menunjukkan bahwa hukum kedua Newton untuk sistem partikel adalah:
∑Fext = dptot/dt
Persamaan ini menyatakan bahwa gaya
eksternal total pada sistem partikel sama dengan perubahan laju terhadap waktu
dari total momentum linier dari sistem. Mari kita lihat apakah pernyataan
serupa dapat dibuat untuk gerak rotasi. Total momentum sudut sistem partikel di
sekitar beberapa sumbu didefinisikan sebagai jumlah vektor momen sudut dari
partikel individu:
Ltoto = L1 + L2 + . . . +Ln
= ∑i Li
dimana jumlah vektor adalah seluruh
partikel n dalam sistem.
Turunan persamaan ini terhadap waktu
memberikan:
di mana kita telah menggunakan Persamaan
11.11 untuk mengganti perubahan laju terhadap waktu dari momentum sudut dari
setiap partikel dengan torsi total pada partikel.
Torsi yang bekerja pada partikel dari
sistem adalah yang terkait dengan gaya internal antara partikel dan yang
berhubungan dengan gaya eksternal. Torsi total terkait dengan semua gaya
internal, bagaimanapun, adalah nol. Ingat bahwa hukum Newton ketiga mengatakan
kepada kita bahwa gaya internal antara partikel dari sistem ini adalah sama
besarnya dan berlawanan arah. Jika kita mengasumsikan gaya-gaya ini terletak di
sepanjang garis pemisahan setiap pasangan partikel, total torsi sekitar
beberapa sumbu yang melewati titik asal O karena setiap pasangan gaya
aksi-reaksi adalah nol (yaitu, saat lengan d dari O ke garis titik aksi
sama untuk kedua partikel, dan gaya berada di arah yang berlawanan). Dalam penjumlahan,
oleh karena itu, torsi internal total adalah nol. Kami menyimpulkan bahwa total
momentum sudut sistem dapat bervariasi dengan waktu hanya jika torsi eksternal total
bertindak pada sistem:
∑text = dLtot/dt (11.13)
Persamaan ini memang rotasi analog dari ∑Fext
= dPtot/dt untuk sistem partikel. Persamaan 11.13 adalah
representasi matematis dari versi momentum sudut dari model sistem nonisolated.
Jika sistem ini tak terisolasi dalam arti bahwa ada torsi total padanya, torsi
sama dengan laju perubahan momentum sudut.
Meskipun kita tidak membuktikannya di
sini, pernyataan ini benar terlepas dari gerak pusat massa. Ini berlaku bahkan
jika pusat massa mengalami percepatan, memberikan torsi dan momentum sudut yang
dievaluasi relatif terhadap suatu sumbu melalui pusat massa.
Persamaan 11.13 dapat disusun kembali dan
terintegrasi untuk memberikan:
∫(∑text ) dt =
∆Ltot Persamaan ini adalah analog rotasi untuk Persamaan
9.40. Ini merupakan teorema angular momentum-angular impuls (Serway,
2010:322-325).
Post a Comment for "SISTEM TAK TERISOLASI (MOMENTUM SUDUT)"