SISTEM TAK TERISOLASI (MOMENTUM SUDUT)

11.2 Analisis Model: Sistem Nonisolated (Momentum Sudut)

Bayangkan tiang kaku berada pada es di kolam beku (Gambar. 11,3). Sebuah skater meluncur cepat menuju tiang, bertujuan sedikit ke samping sehingga dia tidak memukulnya. Saat ia melewati tiang, ia menjangkau ke sampingnya dan meraih itu, suatu tindakan yang menyebabkan dia bergerak dalam lintasan melingkar di sekitar tiang. Sama seperti gagasan momentum linear membantu kita menganalisis gerak translasi, rotasi sebuah analog-momentum sudut-membantu kita menganalisis gerakan skater ini dan benda-benda lain yang mengalami gerak rotasi.

Dalam Bab 9, kita mengembangkan bentuk matematis momentum linear dan kemudian melanjutkan untuk menunjukkan bagaimana besaran baru ini berharga dalam pemecahan masalah. Kita akan mengikuti prosedur yang sama untuk momentum sudut.

Perhatikan sebuah partikel bermassa m yang terletak pada posisi vektor r dan bergerak dengan momentum linier p seperti pada Gambar 11.4. Dalam menggambarkan gerak translasi, kita menemukan bahwa gaya total pada partikel sama dengan tingkat perubahan terhadap waktu dari momentum linier, ∑F = dp/dt (lihat Persamaan. 9.3). Mari kita mengambil cross product dari kedua sisi Persamaan 9.3 dengan r, yang memberikan torsi total pada partikel di sisi kiri dari persamaan:

r x ∑F = ∑t = r x dp/dt

Sekarang mari kita tambahkan ke sisi kanan persamaan (dr/dt) x p, yang adalah nol karena dr/dt = v dan v dan p adalah paralel. Oleh karena itu,

∑t = r x dp/dt + dr/dt x p

Kita menyadari sisi kanan persamaan ini sebagai turunan dari r x p (lihat Persamaan. 11,6). Oleh karena itu,

∑t = d(r x p)/dt                                                              (11.9)

yang terlihat sangat mirip dalam bentuk Persamaan 9.3, ∑F = dp/dt. Karena torsi memainkan peran yang sama dalam gerak rotasi yang memaksa bermain di gerak translasi, hasil ini menunjukkan bahwa kombinasi r x p harus memainkan peran yang sama dalam gerak rotasi yang p bermain di gerak translasi. Kita menyebut kombinasi ini momentum sudut partikel:
Momentum sudut sesaat L dari partikel relatif terhadap suatu sumbu melalui titik asal O didefinisikan oleh cross product dari partikel seketika vektor posisi r dan momentum linier sesaatnya p:

L = r x p                                                                    (11.10)

Kita sekarang dapat menulis Persamaan 11.9 sebagai:

∑t = dL/dt                                                                 (11.11)

yang merupakan analog rotasi hukum kedua Newton, ∑F = dp/dt. Torsi menyebabkan momentum sudut L untuk hanya mengubah sebagai gaya yang menyebabkan momentum linier p berubah.

Perhatikan bahwa Persamaan 11.11 berlaku hanya jika ∑t dan L yang diukur pada sumbu yang sama. Selain itu, ekspresi ini berlaku untuk setiap sumbu tetap dalam kerangka inersia.

Satuan SI momentum sudut adalah kg.m²/s. Perhatikan juga bahwa baik besarnya dan arah L tergantung pada pilihan sumbu. Setelah aturan tangan kanan, kita melihat bahwa arah L tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh r dan p. Dalam Gambar 11.4, r dan p berada di bidang xy, sehingga L menunjuk dalam arah z. Karena p = mv, besarnya L adalah:

L = mvr sin f                                                        (11.12)

dimana f adalah sudut antara r dan p. Oleh karena itu, L adalah nol bila r sejajar dengan p (f = 0 atau 180⁰). Dengan kata lain, ketika kelajuan translasi partikel adalah sepanjang garis yang melewati sumbu, partikel memiliki nol momentum sudut terhadap sumbu. Di sisi lain, jika r tegak lurus terhadap p (f = 90⁰), maka L = mvr. Saat itu, partikel bergerak persis seolah-olah berada di tepi sebuah roda berputar pada sumbunya dalam pesawat bidang yang didefinisikan oleh r dan p.

Momentum sudut Sistem Partikel

Menggunakan teknik Bagian 9.7, kita dapat menunjukkan bahwa hukum kedua Newton untuk sistem partikel adalah:

∑F_ext = dp_tot/dt

Persamaan ini menyatakan bahwa gaya eksternal total pada sistem partikel sama dengan perubahan laju terhadap waktu dari total momentum linier dari sistem. Mari kita lihat apakah pernyataan serupa dapat dibuat untuk gerak rotasi. Total momentum sudut sistem partikel di sekitar beberapa sumbu didefinisikan sebagai jumlah vektor momen sudut dari partikel individu:

L_toto = L₁ + L₂ + . . . +L_n = ∑_i L_i

dimana jumlah vektor adalah seluruh partikel n dalam sistem.

Turunan persamaan ini terhadap waktu memberikan:

di mana kita telah menggunakan Persamaan 11.11 untuk mengganti perubahan laju terhadap waktu dari momentum sudut dari setiap partikel dengan torsi total pada partikel.

Torsi yang bekerja pada partikel dari sistem adalah yang terkait dengan gaya internal antara partikel dan yang berhubungan dengan gaya eksternal. Torsi total terkait dengan semua gaya internal, bagaimanapun, adalah nol. Ingat bahwa hukum Newton ketiga mengatakan kepada kita bahwa gaya internal antara partikel dari sistem ini adalah sama besarnya dan berlawanan arah. Jika kita mengasumsikan gaya-gaya ini terletak di sepanjang garis pemisahan setiap pasangan partikel, total torsi sekitar beberapa sumbu yang melewati titik asal O karena setiap pasangan gaya aksi-reaksi adalah nol (yaitu, saat lengan d dari O ke garis titik aksi sama untuk kedua partikel, dan gaya berada di arah yang berlawanan). Dalam penjumlahan, oleh karena itu, torsi internal total adalah nol. Kami menyimpulkan bahwa total momentum sudut sistem dapat bervariasi dengan waktu hanya jika torsi eksternal total bertindak pada sistem:

∑t_ext = dL_tot/dt                                                                   (11.13)

Persamaan ini memang rotasi analog dari ∑F_ext = dP_tot/dt untuk sistem partikel. Persamaan 11.13 adalah representasi matematis dari versi momentum sudut dari model sistem nonisolated. Jika sistem ini tak terisolasi dalam arti bahwa ada torsi total padanya, torsi sama dengan laju perubahan momentum sudut.

Meskipun kita tidak membuktikannya di sini, pernyataan ini benar terlepas dari gerak pusat massa. Ini berlaku bahkan jika pusat massa mengalami percepatan, memberikan torsi dan momentum sudut yang dievaluasi relatif terhadap suatu sumbu melalui pusat massa.

Persamaan 11.13 dapat disusun kembali dan terintegrasi untuk memberikan:

∫(∑t_ext ) dt = ∆L_tot Persamaan ini adalah analog rotasi untuk Persamaan 9.40. Ini merupakan teorema angular momentum-angular impuls (Serway, 2010:322-325).