PERSAMAAN GELOMBANG LINEAR
16.6 Persamaan Gelombang Linear
Misalkan sebuah gelombang yang merambat di sepanjang string yang berada pada tegangan T. Mari kita memperhatikan satu tali serut kecil panjang ∆x (Gambar 16.19). Ujung-ujung elemen membuat sudut kecil qA dan qB dengan sumbu x. Gaya total yang bekerja pada elemen dalam arah vertikal adalah:
∑Fy = T sin qB - T sin qA = T (sin qB - sin qA)
Karena sudut
kecil, kita dapat menggunakan pendekatan sin q » tan » untuk mengekspresikan gaya total sebagai
åFy » T (tan qB - tan qA) (16.22)
åFy » T (tan qB - tan qA) (16.22)
Bayangkan
menjalani perpindahan sangat kecil keluar dari ujung kanan dari elemen tali
pada Gambar 16.19 di sepanjang garis biru mewakili gaya T. Perpindahan
ini memiliki komponen x dan y sangat kecil dan dapat diwakili oleh vektor dx i
+ dy j . Tangen dari sudut terhadap sumbu x untuk perpindahan ini
adalah dy/dx. Karena kita mengevaluasi singgung ini pada suatu saat waktu
tertentu, kita harus mengungkapkannya dalam bentuk parsial sebagai ∂y/∂x.
Menggantikan garis singgung dalam Persamaan 16,22 memberi
(16.23)
Sekarang mari
kita terapkan hukum kedua Newton untuk elemen, dengan massa dari elemen yang
diberikan oleh m = μ ∆x:
åFy = may = μ ∆x (
) (16.24)
åFy = may = μ ∆x (
Menggabungkan
Persamaan 16.23 dengan Persamaan 16.24 memberikan:
Sisi kanan
Persamaan 16,25 dapat dinyatakan dalam bentuk yang berbeda jika kita perhatikan
bahwa turunan parsial dari setiap fungsi didefinisikan sebagai:
Asosiasi f(x + ∆x)
dengan (∂y/∂x)B dan f(x) dengan (∂y/∂x)A, kita melihat
bahwa, dalam batas ∆x → 0, Persamaan 16,25 menjadi
Ungkapan ini
adalah persamaan gelombang linier yang berlaku untuk gelombang pada tali.
Persamaan gelombang linier (Persamaan 16,26) sering ditulis dalam bentuk:
(16.27)
Persamaan 16.27
berlaku secara umum dalam berbagai jenis gelombang berjalan. Untuk gelombang
pada string, y mewakili posisi vertikal unsur string. Untuk gelombang suara
merambat melalui gas, y sesuai dengan posisi membujur elemen gas dari
ekuilibrium atau variasi baik dalam tekanan atau kepadatan gas. Dalam kasus
gelombang elektromagnetik, y sesuai dengan komponen listrik atau medan magnet.
Kami telah menunjukkan bahwa fungsi gelombang sinusoidal (Persamaan 16,10) merupakan salah satu solusi dari persamaan gelombang linier (Persamaan 16,27). Meskipun kita tidak membuktikannya di sini, persamaan gelombang linier dipenuhi oleh setiap fungsi gelombang yang memiliki bentuk y = f(x ± vt). Selain itu, kita telah melihat bahwa persamaan gelombang linier adalah konsekuensi langsung dari hukum kedua Newton yang diterapkan pada setiap elemen dari string yang membawa gelombang berjalan (Serway, 2010:479-480).
Kami telah menunjukkan bahwa fungsi gelombang sinusoidal (Persamaan 16,10) merupakan salah satu solusi dari persamaan gelombang linier (Persamaan 16,27). Meskipun kita tidak membuktikannya di sini, persamaan gelombang linier dipenuhi oleh setiap fungsi gelombang yang memiliki bentuk y = f(x ± vt). Selain itu, kita telah melihat bahwa persamaan gelombang linier adalah konsekuensi langsung dari hukum kedua Newton yang diterapkan pada setiap elemen dari string yang membawa gelombang berjalan (Serway, 2010:479-480).
Post a Comment for "PERSAMAAN GELOMBANG LINEAR"