PERSAMAAN GELOMBANG LINEAR

16.6 Persamaan Gelombang Linear

Dalam Bagian 16.1, kami memperkenalkan konsep fungsi gelombang untuk mewakili gelombang berjalan pada string. Semua fungsi gelombang y(x,t) merupakan solusi dari persamaan yang disebut persamaan gelombang linier. Persamaan ini memberikan deskripsi lengkap tentang gerakan gelombang, dan dari salah satu dapat diperoleh ekspresi untuk kecepatan gelombang. Selanjutnya, persamaan gelombang linier dasar untuk berbagai bentuk gerakan gelombang. Pada bagian ini, kita memperoleh persamaan ini yang diterapkan pada gelombang pada string.

Misalkan sebuah gelombang yang merambat di sepanjang string yang berada pada tegangan T. Mari kita memperhatikan satu tali serut kecil panjang ∆x (Gambar 16.19). Ujung-ujung elemen membuat sudut kecil q_A dan q_B dengan sumbu x. Gaya total yang bekerja pada elemen dalam arah vertikal adalah:

∑F_y = T sin q_B - T sin q_A = T (sin q_B - sin qA)

Karena sudut kecil, kita dapat menggunakan pendekatan sin q  » tan » untuk mengekspresikan gaya total sebagai
åF_y » T (tan qB - tan qA)                                                                              (16.22)

Bayangkan menjalani perpindahan sangat kecil keluar dari ujung kanan dari elemen tali pada Gambar 16.19 di sepanjang garis biru mewakili gaya T. Perpindahan ini memiliki komponen x dan y sangat kecil dan dapat diwakili oleh vektor dx i + dy j . Tangen dari sudut terhadap sumbu x untuk perpindahan ini adalah dy/dx. Karena kita mengevaluasi singgung ini pada suatu saat waktu tertentu, kita harus mengungkapkannya dalam bentuk parsial sebagai ∂y/∂x. Menggantikan garis singgung dalam Persamaan 16,22 memberi
                                                                  (16.23)

Sekarang mari kita terapkan hukum kedua Newton untuk elemen, dengan massa dari elemen yang diberikan oleh m = μ ∆x:
åF_y = ma_y = μ ∆x ( )                                                                    (16.24)

Menggabungkan Persamaan 16.23 dengan Persamaan 16.24 memberikan:

                                 (16.25)

Sisi kanan Persamaan 16,25 dapat dinyatakan dalam bentuk yang berbeda jika kita perhatikan bahwa turunan parsial dari setiap fungsi didefinisikan sebagai:

Asosiasi f(x + ∆x) dengan (∂y/∂x)_B dan f(x) dengan (∂y/∂x)_A, kita melihat bahwa, dalam batas ∆x → 0, Persamaan 16,25 menjadi

                                                                                          (16.26)

Ungkapan ini adalah persamaan gelombang linier yang berlaku untuk gelombang pada tali. Persamaan gelombang linier (Persamaan 16,26) sering ditulis dalam bentuk:
                                                                                      (16.27)

Persamaan 16.27 berlaku secara umum dalam berbagai jenis gelombang berjalan. Untuk gelombang pada string, y mewakili posisi vertikal unsur string. Untuk gelombang suara merambat melalui gas, y sesuai dengan posisi membujur elemen gas dari ekuilibrium atau variasi baik dalam tekanan atau kepadatan gas. Dalam kasus gelombang elektromagnetik, y sesuai dengan komponen listrik atau medan magnet.

Kami telah menunjukkan bahwa fungsi gelombang sinusoidal (Persamaan 16,10) merupakan salah satu solusi dari persamaan gelombang linier (Persamaan 16,27). Meskipun kita tidak membuktikannya di sini, persamaan gelombang linier dipenuhi oleh setiap fungsi gelombang yang memiliki bentuk y = f(x ± vt). Selain itu, kita telah melihat bahwa persamaan gelombang linier adalah konsekuensi langsung dari hukum kedua Newton yang diterapkan pada setiap elemen dari string yang membawa gelombang berjalan (Serway, 2010:479-480).