MOMENTUM SUDUT BENDA TEGAR
11.3 Momentum Sudut dari Benda Tegar Berotasi
Pada Contoh 11.4, kita menganggap
momentum sudut dari sistem yang dapat berubah bentuk. sekarang mari kita
membatasi perhatian kita ke sistem nondeformable (tak dapat berubah bentuk), benda
tegar (objek kaku). Perhatikan benda tegar yang berputar pada sumbu tetap yang
bertepatan dengan sumbu z dari sistem koordinat seperti yang ditunjukkan pada
Gambar 11.7. Mari kita tentukan momentum sudut obyek ini. Setiap partikel objek
yang berputar dalam bidang xy di sekitar sumbu z dengan kecepatan sudut w. Besarnya momentum sudut dari partikel bermassa
mi sekitar sumbu z adalah miviri.
Karena vi = ri w (Persamaan 10.10), kita dapat mengekspresikan
besarnya momentum sudut partikel ini sebagai:
Li = miri2w
Vektor Li untuk
partikel ini diarahkan sepanjang sumbu z, seperti vektor w.
Kita sekarang dapat menemukan momentum
sudut (yang dalam situasi ini hanya memiliki komponen z) dari seluruh objek
dengan mengambil jumlah dari Li seluruh partikel:
Lz = ∑i Li
=∑i miri2w = (∑i miri2
) w
Lz =I w
(11.14)
di mana kita telah mengetahui ∑i
miri2 sebagai momen inersia I dari objek di sekitar
sumbu z (Persamaan 10,15).
Sekarang mari kita diferensialkan
Persamaan 11.14 terhadap waktu, mencatat bahwa I adalah konstan untuk benda
tegar:
dimana a adalah percepatan sudut relatif terhadap sumbu
rotasi. Karena dLZ/dt adalah sama dengan torsi eksternal total
(Lihat Persamaan 11.13), kita dapat mengekspresikan Persamaan 11.15 sebagai:
∑text = I a (11.16)
Artinya, torsi eksternal total yang
bekerja pada benda tegar yang berputar pada sumbu tetap sama dengan momen
inersia terhadap sumbu rotasi dikalikan dengan percepatan sudut objek relatif
terhadap sumbu. Hasil ini sama dengan Persamaan 10.21, yang diturunkan
menggunakan pendekatan gaya, tapi kita turunkan Persamaan 11.16 menggunakan
konsep momentum sudut. Seperti yang kita lihat dalam Bagian 10.7, Persamaan
11.16 adalah representasi matematis dari benda tegar di bawah model analisis
torsi total. Persamaan ini juga berlaku untuk benda tegar yang berputar pada sumbu
bergerak, disediakan sumbu bergerak (1) melewati pusat massa dan (2) adalah
sumbu simetri.
Jika objek simetris berputar pada sumbu
tetap melewati pusat massanya, Anda dapat menulis Persamaan 11.14 dalam bentuk
vektor sebagai L = Iw, di mana L adalah total momentum sudut
objek yang diukur terhadap sumbu rotasi. Selain itu, ekspresi ini berlaku untuk
objek apapun, terlepas dari simetri, jika L singkatan untuk komponen dari
momentum sudut sepanjang sumbu rotasi.
11.4 Analisis Model: Sistem Terisolasi (Momentum Sudut)
Dalam Bab 9, kita menemukan bahwa total
momentum linier dari sistem partikel tetap konstan jika sistem terisolasi,
yaitu jika gaya eksternal total yang bekerja pada sistem adalah nol. Kita
memiliki hukum kekekalan yang analog dalam gerak rotasi:
Total momentum sudut sistem adalah
konstan dalam kedua besar dan arah jika torsi eksternal total yang bekerja pada
sistem adalah nol, yaitu jika sistem terisolasi.
Pernyataan ini sering dinamakan prinsip kekekalan momentum sudut dan merupakan dasar dari versi momentum sudut dari model sistem yang terisolasi. Prinsip ini mengikuti langsung dari Persamaan 11.13, yang menunjukkan bahwa jika
Pernyataan ini sering dinamakan prinsip kekekalan momentum sudut dan merupakan dasar dari versi momentum sudut dari model sistem yang terisolasi. Prinsip ini mengikuti langsung dari Persamaan 11.13, yang menunjukkan bahwa jika
(11.17)
Maka:
Ltot = konstan atau Li = Lf
(11.18)
Untuk sebuah sistem yang terisolasi yang
terdiri dari sejumlah partikel, kita menulis hukum kekekalan ini sebagai Ltot
= ∑Ln = konstan, di mana indeks n menunjukkan partikel n
dalam sistem.
Jika sistem yang berputar terisolasi dapat
berubah bentuk sehingga massanya mengalami redistribusi dalam beberapa cara, momentum inersia sistem
berubah. Karena besarnya
dari momentum sudut sistem adalah L = Iw (Persamaan 11.14), konservasi momentum sudut mensyaratkan bahwa produk I dan w harus tetap konstan. Oleh karena itu, perubahan dalam I untuk sistem yang terisolasi membutuhkan perubahan dalam w. Dalam hal ini,
kita dapat mengekspresikan prinsip kekekalan momentum sudut sebagai:
dari momentum sudut sistem adalah L = Iw (Persamaan 11.14), konservasi momentum sudut mensyaratkan bahwa produk I dan w harus tetap konstan. Oleh karena itu, perubahan dalam I untuk sistem yang terisolasi membutuhkan perubahan dalam w. Dalam hal ini,
kita dapat mengekspresikan prinsip kekekalan momentum sudut sebagai:
Iiwi = Ifwf = konstan (11.19)
Ungkapan ini berlaku baik untuk rotasi
pada sumbu tetap dan untuk rotasi terhadap suatu sumbu melalui pusat massa
sebuah sistem yang bergerak sepanjang sumbu yang dengan tetap arah. Kita hanya
mensyaratkan torsi eksternal total menjadi nol.
Banyak contoh menunjukkan konservasi
momentum sudut untuk sistem deformable (berubah bentuk). Anda mungkin telah
mengamati skater yang berputar di akhir dari sebuah program (Gambar 11.10).
Kecepatan sudut skater besar ketika tangan dan kaki yang dekat dengan batang
tubuhnya. (Perhatikan rambut skater!) Mengabaikan gesekan antara skater dan es,
tidak ada torsi eksternal pada skater. Momen inersia dari tubuh meningkat seperti
tangan dan kaki menjauh dari tubuhnya saat finish spin. Menurut prinsip
kekekalan momentum sudut, kecepatan sudut nya harus menurun. Dalam cara yang
sama, ketika pengemudi atau akrobat ingin membuat beberapa gerak jungkir balik,
mereka menarik tangan dan kaki dekat dengan tubuh mereka untuk berputar pada
tingkat yang lebih tinggi mereka. Dalam kasus ini, gaya eksternal karena
gravitasi bekerja melalui pusat massa dan karenanya tidak diberikannya torsi
terhadap suatu sumbu melalui titik ini. Oleh karena itu, momentum sudut tentang
pusat massa harus dilestarikan, yaitu, Iiwi = Ifwf. Misalnya, ketika pengemudi ingin menggandakan kecepatan sudut,
mereka harus mengurangi momen inersia mereka setengah nilai awalnya.
Dalam Persamaan 11.18, kita memiliki
versi ketiga dari model sistem yang terisolasi. Kita sekarang dapat menyatakan
bahwa energi, momentum linear, dan momentum sudut dari sistem terisolasi adalah
konstan:
Ei = Ef (jika tidak ada transfer energi
melintasi batas sistem)
pi = pf (jika gaya eksternal total pada sistem adalah nol)
Li = Lf (jika torsi eksternal total pada sistem adalah nol)
Suatu sistem dapat diisolasi dalam hal satu bentuk ini
tetapi tidak dalam hal lain. Jika sistem ini nonisolasi dalam hal momentum atau
momentum sudut, itu sering akan nonisolated juga dalam hal energi karena sistem
memiliki gaya total atau torsi di atasnya dan gaya total atau torsi akan
melakukan usaha pada sistem. Kita bisa, bagaimanapun, mengidentifikasi sistem
yang nonisolated dalam hal energi tapi sistem terisolasi dari segi momentum.
Sebagai contoh, bayangkan untuk mendorong
pada sebuah balon (sistem) antara tangan Anda. Gaya ini dilakukan untuk meniup
balon, sehingga sistem ini nonisolated dalam hal energi, tapi ada nol gaya
total pada sistem, sehingga sistem ini terisolasi dari segi momentum. Sebuah
pernyataan yang sama dapat dibuat tentang memutar ujung panjang, sepotong logam
kenyal dengan kedua tangan. Usaha ini dilakukan pada logam (sistem), sehingga
energi yang tersimpan dalam sistem nonisolated sebagai energi potensial
elastis, tetapi torsi total pada sistem adalah nol. Oleh karena itu, sistem ini
terisolasi dari segi momentum sudut. Contoh lain adalah tumbukan benda
makroskopik, yang merupakan sistem yang terisolasi dalam hal momentum, tetapi
sistem nonisolated dalam hal energi karena output energi dari sistem dengan
gelombang mekanik (suara) (Serway, 2010:326-330).pi = pf (jika gaya eksternal total pada sistem adalah nol)
Li = Lf (jika torsi eksternal total pada sistem adalah nol)
Post a comment for "MOMENTUM SUDUT BENDA TEGAR"