MOMENTUM SUDUT BENDA TEGAR

11.3 Momentum Sudut dari Benda Tegar Berotasi

Pada Contoh 11.4, kita menganggap momentum sudut dari sistem yang dapat berubah bentuk. sekarang mari kita membatasi perhatian kita ke sistem nondeformable (tak dapat berubah bentuk), benda tegar (objek kaku). Perhatikan benda tegar yang berputar pada sumbu tetap yang bertepatan dengan sumbu z dari sistem koordinat seperti yang ditunjukkan pada Gambar 11.7. Mari kita tentukan momentum sudut obyek ini. Setiap partikel objek yang berputar dalam bidang xy di sekitar sumbu z dengan kecepatan sudut w. Besarnya momentum sudut dari partikel bermassa m_i sekitar sumbu z adalah m_iv_ir_i. Karena v_i = r_i w (Persamaan 10.10), kita dapat mengekspresikan besarnya momentum sudut partikel ini sebagai:

L_i = m_ir_i²w

Vektor L_i untuk partikel ini diarahkan sepanjang sumbu z, seperti vektor w.

Kita sekarang dapat menemukan momentum sudut (yang dalam situasi ini hanya memiliki komponen z) dari seluruh objek dengan mengambil jumlah dari L_i seluruh partikel:

L_z = ∑_i L_i =∑_i m_ir_i²w = (∑_i m_ir_i² ) w

 

L_z =I w                                                          (11.14)

di mana kita telah mengetahui ∑_i m_ir_i²  sebagai momen inersia I dari objek di sekitar sumbu z (Persamaan 10,15).

Sekarang mari kita diferensialkan Persamaan 11.14 terhadap waktu, mencatat bahwa I adalah konstan untuk benda tegar:

                                                  (11.15)

dimana a adalah percepatan sudut relatif terhadap sumbu rotasi. Karena dL_Z/dt adalah sama dengan torsi eksternal total (Lihat Persamaan 11.13), kita dapat mengekspresikan Persamaan 11.15 sebagai:

∑t_ext = I a                                                           (11.16)

Artinya, torsi eksternal total yang bekerja pada benda tegar yang berputar pada sumbu tetap sama dengan momen inersia terhadap sumbu rotasi dikalikan dengan percepatan sudut objek relatif terhadap sumbu. Hasil ini sama dengan Persamaan 10.21, yang diturunkan menggunakan pendekatan gaya, tapi kita turunkan Persamaan 11.16 menggunakan konsep momentum sudut. Seperti yang kita lihat dalam Bagian 10.7, Persamaan 11.16 adalah representasi matematis dari benda tegar di bawah model analisis torsi total. Persamaan ini juga berlaku untuk benda tegar yang berputar pada sumbu bergerak, disediakan sumbu bergerak (1) melewati pusat massa dan (2) adalah sumbu simetri.

Jika objek simetris berputar pada sumbu tetap melewati pusat massanya, Anda dapat menulis Persamaan 11.14 dalam bentuk vektor sebagai L = Iw, di mana L adalah total momentum sudut objek yang diukur terhadap sumbu rotasi. Selain itu, ekspresi ini berlaku untuk objek apapun, terlepas dari simetri, jika L singkatan untuk komponen dari momentum sudut sepanjang sumbu rotasi.

11.4 Analisis Model: Sistem Terisolasi (Momentum Sudut)

Dalam Bab 9, kita menemukan bahwa total momentum linier dari sistem partikel tetap konstan jika sistem terisolasi, yaitu jika gaya eksternal total yang bekerja pada sistem adalah nol. Kita memiliki hukum kekekalan yang analog dalam gerak rotasi:

Total momentum sudut sistem adalah konstan dalam kedua besar dan arah jika torsi eksternal total yang bekerja pada sistem adalah nol, yaitu jika sistem terisolasi.

Pernyataan ini sering dinamakan prinsip kekekalan momentum sudut dan merupakan dasar dari versi momentum sudut dari model sistem yang terisolasi. Prinsip ini mengikuti langsung dari Persamaan 11.13, yang menunjukkan bahwa jika

                                                     (11.17)

Maka:

L_tot = konstan     atau     L_i = L_f                            (11.18)

Untuk sebuah sistem yang terisolasi yang terdiri dari sejumlah partikel, kita menulis hukum kekekalan ini sebagai L_tot = ∑L_n = konstan, di mana indeks n menunjukkan partikel n dalam sistem.

Jika sistem yang berputar terisolasi dapat berubah bentuk sehingga massanya mengalami redistribusi dalam beberapa cara, momentum inersia sistem berubah. Karena besarnya
dari momentum sudut sistem adalah L = Iw (Persamaan 11.14), konservasi momentum sudut mensyaratkan bahwa produk I dan w harus tetap konstan. Oleh karena itu, perubahan dalam I untuk sistem yang terisolasi membutuhkan perubahan dalam w. Dalam hal ini,
kita dapat mengekspresikan prinsip kekekalan momentum sudut sebagai:

I_iw_i = I_fw_f = konstan                                            (11.19)

Ungkapan ini berlaku baik untuk rotasi pada sumbu tetap dan untuk rotasi terhadap suatu sumbu melalui pusat massa sebuah sistem yang bergerak sepanjang sumbu yang dengan tetap arah. Kita hanya mensyaratkan torsi eksternal total menjadi nol.

Banyak contoh menunjukkan konservasi momentum sudut untuk sistem deformable (berubah bentuk). Anda mungkin telah mengamati skater yang berputar di akhir dari sebuah program (Gambar 11.10). Kecepatan sudut skater besar ketika tangan dan kaki yang dekat dengan batang tubuhnya. (Perhatikan rambut skater!) Mengabaikan gesekan antara skater dan es, tidak ada torsi eksternal pada skater. Momen inersia dari tubuh meningkat seperti tangan dan kaki menjauh dari tubuhnya saat finish spin. Menurut prinsip kekekalan momentum sudut, kecepatan sudut nya harus menurun. Dalam cara yang sama, ketika pengemudi atau akrobat ingin membuat beberapa gerak jungkir balik, mereka menarik tangan dan kaki dekat dengan tubuh mereka untuk berputar pada tingkat yang lebih tinggi mereka. Dalam kasus ini, gaya eksternal karena gravitasi bekerja melalui pusat massa dan karenanya tidak diberikannya torsi terhadap suatu sumbu melalui titik ini. Oleh karena itu, momentum sudut tentang pusat massa harus dilestarikan, yaitu, I_iw_i = I_fw_f. Misalnya, ketika pengemudi ingin menggandakan kecepatan sudut, mereka harus mengurangi momen inersia mereka setengah nilai awalnya.

Dalam Persamaan 11.18, kita memiliki versi ketiga dari model sistem yang terisolasi. Kita sekarang dapat menyatakan bahwa energi, momentum linear, dan momentum sudut dari sistem terisolasi adalah konstan:

E_i = E_f        (jika tidak ada transfer energi melintasi batas sistem)
p_i = p_f         (jika gaya eksternal total pada sistem adalah nol)
L_i = L_f        (jika torsi eksternal total pada sistem adalah nol)

Suatu sistem dapat diisolasi dalam hal satu bentuk ini tetapi tidak dalam hal lain. Jika sistem ini nonisolasi dalam hal momentum atau momentum sudut, itu sering akan nonisolated juga dalam hal energi karena sistem memiliki gaya total atau torsi di atasnya dan gaya total atau torsi akan melakukan usaha pada sistem. Kita bisa, bagaimanapun, mengidentifikasi sistem yang nonisolated dalam hal energi tapi sistem terisolasi dari segi momentum. Sebagai contoh, bayangkan untuk mendorong  pada sebuah balon (sistem) antara tangan Anda. Gaya ini dilakukan untuk meniup balon, sehingga sistem ini nonisolated dalam hal energi, tapi ada nol gaya total pada sistem, sehingga sistem ini terisolasi dari segi momentum. Sebuah pernyataan yang sama dapat dibuat tentang memutar ujung panjang, sepotong logam kenyal dengan kedua tangan. Usaha ini dilakukan pada logam (sistem), sehingga energi yang tersimpan dalam sistem nonisolated sebagai energi potensial elastis, tetapi torsi total pada sistem adalah nol. Oleh karena itu, sistem ini terisolasi dari segi momentum sudut. Contoh lain adalah tumbukan benda makroskopik, yang merupakan sistem yang terisolasi dalam hal momentum, tetapi sistem nonisolated dalam hal energi karena output energi dari sistem dengan gelombang mekanik (suara) (Serway, 2010:326-330).