Skip to content Skip to sidebar Skip to footer

Pusat Massa (Center Of Mass)



9.6 Pusat Massa

Pada bagian ini, kita menggambarkan gerakan keseluruhan sistem dalam hal titik khusus yang disebut pusat massa sistem. Sistem ini dapat berupa sekelompok partikel, seperti kumpulan atom dalam sebuah wadah, atau objek diperpanjang, seperti pesenam melompat di udara. Kita akan melihat bahwa gerak translasi pusat massa sistem adalah sama seperti jika semua massa sistem terkonsentrasi pada saat itu. Artinya, sistem bergerak seolah-olah gaya eksternal total yang diterapkan pada partikel tunggal terletak di pusat massa. Perilaku ini adalah independen dari gerakan lainnya, seperti rotasi atau getaran dari sistem atau perubahan bentuk dari sistem (misalnya, ketika pesenam melipatan tubuhnya). Model ini, model partikel, diperkenalkan dalam Bab 2.


Perhatikan sebuah sistem yang terdiri dari sepasang partikel yang memiliki massa yang berbeda dan dihubungkan dengan batang kaku yang tipis ( Gambar. 9.13 ). Posisi pusat massa sistem dapat digambarkan sebagai posisi rata-rata massa sistem. Pusat massa sistem terletak di suatu tempat di garis yang menghubungkan dua partikel dan lebih dekat dengan partikel yang memiliki massa yang lebih besar. Jika suatu gaya diterapkan pada suatu titik pada batang di atas pusat massa, sistem berputar searah jarum jam (lihat Gambar  9.13a). Jika gaya diterapkan pada suatu titik pada batang di bawah pusat massa, sistem berputar berlawanan arah jarum jam (lihat Gambar 9.13b). Jika gaya diterapkan pada pusat massa, sistem bergerak dalam arah gaya tanpa berputar (lihat Gambar  9.13c). Pusat massa suatu benda dapat terletak dengan prosedur ini. 

Pusat massa dari pasangan partikel dijelaskan dalam Gambar 9.14 yang terletak pada sumbu x dan terletak di suatu tempat antara partikel. Koordinat x diberikan oleh:
                                                (9.28)

Misalnya, jika x1 = 0, x2 = d, dan m2 = 2m1, kita menemukan bahwa XCM = 2/3 d. Artinya, pusat massa terletak dekat dengan partikel yang lebih besar. Jika dua massa yang sama, pusat massa terletak di tengah-tengah antara partikel. Kita bisa memperluas konsep ini dengan sistem banyak partikel dengan massa mi dalam tiga dimensi. Koordinat x dari pusat massa n partikel didefinisikan sebagai 




di mana xi adalah koordinat x dari partikel i dan massa total adalah M
ยบ ∑i mi dimana jumlah berjalan di atas semua partikel n. Koordinat y dan z merupakan koordinat pusat massa yang sama-sama didefinisikan oleh persamaan:



Pusat massa dapat ditemukan dalam tiga dimensi dengan vektor posisi rCM. Komponen vektor ini XCM, YCM, dan ZCM, didefinisikan dalam Persamaan 9.29 dan 9.30. Oleh karena itu,



di mana ri adalah vektor posisi partikel ke-i, yang didefinisikan oleh:
Meskipun lokasi pusat massa untuk objek diperpanjang agak lebih rumit daripada mencari pusat massa sistem partikel, ide dasar yang telah kita bahas masih berlaku. Pikirkan sebuah objek diperpanjang sebagai sistem yang mengandung sejumlah besar elemen massa yang kecil seperti kubus pada Gambar 9.15. Karena pemisahan antara unsur-unsur sangat kecil, obyek dapat dianggap memiliki distribusi massa kontinu. Dengan membagi objek ke elemen massa ∆midengan koordinat xi, yi, zi, kita melihat bahwa koordinat x dari pusat massa adalah sekitar:
 
dengan ekspresi yang sama untuk YCM dan ZCM. Jika kita membiarkan sejumlah elemen n yang mendeki jumlah yang tak hingga, ukuran setiap elemen mendekati nol dan XCM diberikan dengan tepat. Dalam batas ini, kita mengganti jumlah dengan integral dan ∆mi oleh diferensial elemen dm:



Demikian juga, untuk yCM dan zCM kita memperoleh:


 Kita dapat mengekspresikan posisi vektor dari pusat massa objek diperpanjang dalam bentuk
rCM = 1/M
r dm                                                                         (9.34)

yang setara dengan tiga ekspresi yang diberikan oleh Persamaan 9.32 dan 9.33.

Pusat massa dari setiap objek padat yang simetris yang seragam terletak pada sumbu simetri dan pada setiap bidang simetri. Misalnya, pusat massa batang seragam terletak pada batang, tengah-tengah antara ujung-ujungnya. Pusat massa dari sebuah kawasan atau kubus terletak di pusat geometris.

Karena objek yang diperpanjang adalah distribusi kontinu dari massa, masing-masing elemen massa kecil ditindaklanjuti oleh gaya gravitasi. Efek total dari semua gaya ini setara dengan efek dari gaya Mg tunggal yang bertindak melalui titik khusus, yang disebut pusat gravitasi. Jika g adalah konstan selama distribusi massa, pusat gravitasi bertepatan dengan pusat massa. Jika objek diperpanjang diputar di pusat gravitasinya, itu nilai dalam setiap orientasi.







Pusat gravitasi dari sebuah objek berbentuk tidak teratur seperti kunci inggris dapat ditentukan dengan menangguhkan objek pertama dari satu titik dan kemudian dari yang lain. Pada Gambar 9.16, kunci inggris tergantung dari titik A dan AB garis vertikal (yang dapat dibentuk dengan plumb bob) diambil ketika kunci telah berhenti berayun. Kunci tersebut kemudian digantung dari titik C, dan garis vertikal kedua CD digambar. Pusat gravitasi adalah setengah jalan melalui ketebalan kunci, di bawah persimpangan dari dua baris. Secara umum, jika kunci tersebut digantung bebas dari setiap titik, garis vertikal melalui titik ini harus melewati pusat gravitasi (Serway, 2010:253-255).

Post a comment for "Pusat Massa (Center Of Mass)"