Gerak Menggelinding Benda Tegar

10.9 Gerak Menggelinding Benda Tegar

Pada bagian ini, kita memperlakukan gerak benda tegar menggelinding sepanjang permukaan yang datar. Secara umum, gerakan tersebut sangat kompleks. Misalnya, sebuah silinder bergulir di jalan yang lurus sehingga sumbu rotasi tetap sejajar dengan orientasi awal di ruang. Seperti Gambar 10.23 menunjukkan sebuah titik di tepi silinder yang bergerak pada jalan yang kompleks yang disebut cycloid. Kita bisa menyederhanakan masalah ini, namun, dengan berfokus pada pusat massa bukan pada titik di tepi objek yang bergulir. Seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 10.23, pusat massa bergerak dalam garis lurus. Jika suatu benda seperti silinder menggelinding tanpa slip pada permukaan (disebut gerak rotasi murni), hubungan sederhana muncul antara gerakan rotasi dan translasinya.

Perhatikan sebuah silinder seragam radius R bergulir tanpa slip pada permukaan horizontal (Gambar 10.24). Silinder berputar dengan sudut q, pusat massanya bergerak dengan jarak linier s = Rq (lihat Persamaan. 10.1a). Oleh karena itu, kecepatan translasi pusat massa untuk gerakan rolling murni diberikan oleh:

v_CM = ds/dt = R dq/dt = Rw                                           (10.25)

dimana w adalah kecepatan sudut silinder. Persamaan 10.25  ketika silinder atau bola menggelinding tanpa tergelincir dan kondisi untuk gerakan rolling murni. Besarnya percepatan linier dari pusat massa untuk gerakan rolling murni:

a_CM = dv_CM/dt = R dw/dt = Ra                                       (10.26)

di mana a adalah percepatan sudut silinder.

Bayangkan bahwa Anda sedang bergerak bersama dengan objek bergulir pada kecepatan v_CM, berada di sebuah kerangka acuan yang diam terhadap pusat massa benda. Ketika Anda mengamati objek, Anda akan melihat objek di rotasi murni sekitar pusat massanya. Gambar 10.25 menunjukkan kecepatan poin di atas, tengah, dan bawah obyek seperti yang diamati oleh Anda. Selain kecepatan tersebut, setiap titik pada objek bergerak dalam arah yang sama dengan kecepatan v_CM relatif terhadap permukaan yang menggelinding. Gambar 10.25b menunjukkan kecepatan ini untuk objek nonrotating. Dalam kerangka acuan yang diam terhadap permukaan, kecepatan titik tertentu pada objek adalah jumlah dari kecepatan ditunjukkan pada Gambar 10.25 dan 10.25b. Gambar 10.25c menunjukkan hasil penambahan kecepatan ini.

Perhatikan bahwa titik kontak antara permukaan dan benda pada Gambar 10.25c memiliki kecepatan translasi dari nol. Pada saat ini, rolling objek bergerak dengan cara yang persis sama seperti jika permukaan telah dihapus dan objek yang berputar pada titik P dan berputar sekitar sebuah sumbu yang melewati P. Kita bisa mengekspresikan total energi kinetik obyek ini berputar digambarkan sebagai:

K = ½ I_P w²                                                            (10.27)

di mana I_P adalah momen inersia pada sumbu rotasi melalui P. Karena gerak rotasi benda dibayangkan adalah sama saat ini sebagai objek menggelinding sebenarnya, Persamaan 10.27 juga memberikan energi kinetik rotasi objek. Menerapkan teorema paralel sumbu, kita bisa mengganti I_P = I_CM + MR² ke Persamaan 10,27 untuk memperoleh:

K = ½ I_CM w² + ½ MR² w²

Menggunakan v_CM = Rw, persamaan ini dapat dinyatakan sebagai:

K = ½ I_CM w² + ½ Mv_CM²                                      (10.28)

Istilah I_CM w² merupakan energi kinetik rotasi obyek di sekitar pusat massa, dan istilah Mv_CM² merupakan energi kinetik objek yang akan ada jika hanya melalui ruang tanpa berputar. Oleh karena itu, total energi kinetik benda bergulir adalah jumlah energi kinetik rotasi di sekitar pusat massa dan energi kinetik translasi pusat massa. Pernyataan ini konsisten dengan situasi yang diilustrasikan pada Gambar 10.25, yang menunjukkan bahwa kecepatan suatu titik pada objek adalah jumlah dari kecepatan pusat massa dan kecepatan tangensial di sekitar pusat massa.

Metode energi dapat digunakan untuk mengatasi masalah tentang gerak objek menggelinding di lereng kasar. Sebagai contoh, perhatikan Gambar 10.26, yang menunjukkan bola menggelinding tanpa slip setelah dibebaskan dari atas bidang miring. Gerakan rolling dipercepat hanya mungkin jika gaya gesekan ada antara bola dan bidang miring untuk menghasilkan torsi total di sekitar pusat massa. Meskipun adanya gesekan, tanpa kehilangan energi mekanik terjadi karena titik kontak sedang diam relatif terhadap permukaan pada setiap saat. (Di sisi lain, jika bola yang menyelinap, energi mekanik dari sistem bola-bidang miring-Bumi akan menurun karena gaya nonkonservatif gesekan kinetik.)

Pada kenyataannya, gesekan saat menggelinding menyebabkan energi mekanik untuk mengubah energi internal. Gesekan ini akibat deformasi permukaan dan rolling objek. Misalnya, ban mobil melentur karena menggelinding di jalan, mewakili transformasi energi mekanik menjadi energi internal. Jalan juga berdeformasi sejumlah kecil, yang mewakili tambahan gesekan. Dalam model pemecahan masalah, kita mengabaikan gesekan ini kecuali dinyatakan lain.

Menggunakan v_CM = Rw untuk gerakan rolling murni, kita dapat mengekspresikan Persamaan 10.28 sebagai:

K = ½ I_CM (v_CM/R)²   + ½ Mv_CM²

 

K = ½ (I_CM /R² + M) v_CM²                                     (10.29)

Untuk sistem bola-Bumi pada Gambar 10.26, kita mendefinisikan konfigurasi nol energi potensial gravitasi menjadi ketika bola berada di bagian bawah lereng. Oleh karena itu, konservasi energi mekanik memberikan:

K_f + U_f = K_i + U_i

K = ½ (I_CM /R² + M) v_CM² + 0 = 0 +Mgh

                                                   (10.30)

(Serway, 2010:299-301)