Dalam bab ini, kami mengeksplorasi kinematika dari partikel yang bergerak dalam dua dimensi. Mengetahui dasar-dasar gerak dua dimensi akan memungkinkan kita – di bab berikutnya-untuk memeriksa berbagai situasi, mulai dari gerakan satelit dalam orbit sampai gerakan elektron dalam medan listrik seragam. Kita mulai dengan mempelajari secara lebih rinci sifat vektor posisi, kelajuan, dan percepatan. Kita kemudian memperlakukan gerak proyektil dan gerak melingkar seragam sebagai kasus khusus dari gerak dalam dua dimensi. Kita juga membahas konsep gerak relatif, yang menunjukkan mengapa pengamat dalam kerangka acuan yang berbeda dapat mengukur posisi dan kelajuan yang berbeda untuk sebuah partikel yang diberikan.
4.1 Vektor Posisi, Kelajuan, dan Percepatan
Δr = rf – ri (4.1)
Arah Δr ditunjukkan pada Gambar 4.1.
(4.2)Kelajuan rata-rata antar titik adalah independen dari jalur yang ditempuh. Itu karena kelajuan rata-rata sebanding dengan perpindahan, yang hanya bergantung pada vektor posisi awal dan akhir dan bukan pada jalan yang diambil. Seperti dengan gerakan satu dimensi, kita menyimpulkan bahwa jika partikel mulai bergerak di beberapa titik dan kembali ke titik ini melalui jalan apapun, kelajuan rata-rata adalah nol untuk perjalanan ini karena perpindahan adalah nol. Pertimbangkan lain, pemain basket kita di lapangan pada Gambar 2.2 (Bab 2). Kita sebelumnya anggap hanya bergerak satu dimensi bolak-balik antara keranjang. Namun dalam kenyataannya, mereka bergerak di atas permukaan dua dimensi, berjalan bolak-balik antara keranjang serta kiri dan kanan di lebar garis lapangan. Mulai dari satu keranjang, pemain yang diberikan dapat mengikuti jalan dua dimensi yang sangat rumit. Setelah kembali ke keranjang asli, bagaimanapun, kelajuan rata-rata pemain adalah nol karena perpindahan pemain untuk seluruh perjalanan adalah nol.
Pertimbangkan lagi gerak partikel antara dua titik dalam bidang xy seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.2. Sebagai interval waktu yang lebih kita amati gerak menjadi lebih kecil dan lebih kecil-yaitu seperti B dipindahkan ke B’ dan kemudian B” dan seterusnya-arah pendekatan perpindahan dari garis singgung ke lintasan di A. Kelajuan sesaat vdidefinisikan sebagai batas kelajuan rata-rata Δr /∆t dengan ∆t mendekati nol:
(4.3)
Artinya, kelajuan sesaat sama dengan turunan dari vektor posisi terhadap waktu. Arah dari vektor kelajuan sesaat pada setiap titik dalam jalur partikel adalah sepanjang garis singgung ke lintasan pada saat tersebut dan dalam arah gerakan. Bandingkan Persamaan 4.3 dengan versi satu dimensi yang sesuai, Persamaan 2.5.
Sebagai partikel bergerak dari satu titik ke titik lain sepanjang beberapa jalur, perubahan vektor kelajuan sesaat dari vi pada waktu tisampai vf saat tf. Mengetahui kelajuan pada titik-titik memungkinkan kita untuk menentukan percepatan rata-rata partikel. Percepatan rata-rata partikel aavg didefinisikan sebagai perubahan kelajuan sesaatnya vektor Δv dibagi dengan interval waktu selama ∆t terjadinya perubahan bahwa:
(4.4)
Karena aavg adalah rasio besaran vektor Δv dan besaran skalar ∆t positif, kita menyimpulkan bahwa percepatan rata-rata adalah besaran vektor diarahkan sepanjang Δv. Seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.3, arah Δv ditemukan dengan menambahkan vektor –vi(negatif dari vi) ke vektor vf, karena menurut definisi Δv = vf – vi. Bandingkan Persamaan 4.4 dengan Persamaan 2.9.
Ketika percepatan rata-rata sebuah partikel berubah selama interval waktu yang berbeda, hal ini berguna untuk menentukan percepatan sesaat nya. Percepatan sesaat a yang didefinisikan sebagai nilai limit dari rasio Δv/∆t dengan ∆t mendekati nol:
(4.5)
Dengan kata lain, percepatan sesaat sama dengan turunan dari vektor kelajuan terhadap waktu. Bandingkan Persamaan 4.5 dengan Persamaan 2.10.
Berbagai perubahan dapat terjadi ketika sebuah partikel dipercepat. Pertama, besarnya vektor kelajuan (kecepatan) dapat berubah dengan waktu seperti gerak dalam garis lurus (satu dimensi). Kedua, arah vektor kelajuan dapat berubah dengan waktu bahkan jika besarnya (kecepatan) tetap konstan seperti dalam gerak dua dimensi sepanjang jalur melengkung. Akhirnya, baik besar dan arah vektor kelajuan dapat berubah secara bersamaan.
4.2 Gerak Dua Dimensi dengan Percepatan Konstan
Sebelum memulai analisa ini, kita perlu menekankan poin penting mengenai gerak dua dimensi. Bayangkan sebuah keping hoki udara bergerak dalam garis lurus sepanjang tingkat sempurna, permukaan bebas gesekan dari meja hoki udara. Gambar 4.4a menunjukkan diagram gerak dari sudut pandang yang jauh dari keping ini. Ingatlah bahwa dalam Bagian 2.4 kita menghubungkan percepatan suatu benda dengan gaya pada objek. Karena tidak ada gaya pada keping pada bidang horisontal, bergerak dengan kelajuan konstan dalam arah x. Sekarang anggaplah Anda meniup embusan udara pada keping saat melewati posisi Anda, dengan gaya dari tiupan Anda persis di arah y. Karena gaya dari hembusan udara ini tidak memiliki komponen dalam arah x, hal itu menyebabkan ada percepatan dalam arah x. Ini hanya menyebabkan percepatan sesaat dalam arah y, menyebabkan keping memiliki komponen kelajuan y konstan ketika gaya dari hembusan udara dihilangkan. Setelah tiupan udara pada keping, komponen kelajuan dalam arah x tidak berubah seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.4b. Generalisasi percobaan sederhana ini adalah bahwa gerak dalam dua dimensi dapat dimodelkan sebagai dua gerakan independen dalam dua arah masing-masing tegak lurus yang terkait dengan sumbu x dan y. Artinya, pengaruh dalam arah y tidak mempengaruhi gerak dalam arah x dan sebaliknya.
Posisi vektor untuk sebuah partikel bergerak dalam bidang xy dapat ditulis:
(4.6)
dimana x, y, dan r berubah seiring dengan waktu seperti gerak partikel sedangkan vektor satuan î dan ĵ tetap konstan. Jika vektor posisi diketahui, kelajuan partikel dapat diperoleh dari Persamaan 4.3 dan 4.6, yang memberikan:
(4.7)
(4.8)
Hasil ini menyatakan bahwa kelajuan dari sebuah partikel pada suatu waktu t sama dengan jumlah vektor kelajuan awal vi pada waktu t = 0 dan kelajuan tambahan at pada diakuisisi pada waktu t sebagai akibat dari percepatan konstan. Persamaan 4.8 adalah versi vektor Persamaan 2.13.
Demikian pula, dari Persamaan 2.16 kita tahu bahwa x dan y koordinat dari partikel yang bergerak dengan percepatan konstan adalah:
xf = xi + vxit + ½ axt2
yf = yi + vyit + ½ ayt2
Mengganti ungkapan ini ke dalam Persamaan 4.6 (dan pelabelan posisi akhir
vektor rf) memberikan:
(4.9)yang merupakan versi vektor Persamaan 2.16. Persamaan 4.9 memberitahu kita bahwa posisi
vektor rf dari sebuah partikel adalah jumlah vektor dari posisi awal ri, perpindahan vit timbul dari kelajuan awal partikel, dan perpindahan ½ at2 akibat percepatan konstan partikel.
Representasi grafis dari Persamaan 4.8 dan 4.9 ditunjukkan dalam Gambar 4.5. Komponen vektor posisi dan kelajuan juga diilustrasikan dalam gambar. Perhatikan, dari Gambar 4.5a bahwa vf umumnya tidak sepanjang arah baik vi atau karena hubungan antara jumlah ini adalah vektor ekspresi. Untuk alasan yang sama, dari Gambar 4.5b kita melihat bahwa rfumumnya tidak sepanjang arah ri, vi, atau. Akhirnya, perhatikan bahwa vf dan rfumumnya tidak dalam arah yang sama.
4.3 Gerak Proyektil
Ekspresi untuk vektor posisi proyektil sebagai fungsi waktu berikut langsung dari Persamaan 4.9, dengan percepatannya adalah bahwa karena gravitasi, a= g:
(4.10)
dimana komponen awal x dan y dari kelajuan proyektil adalah:
(4.11)Ekspresi dalam Persamaan 4.10 diplot pada Gambar 4.8, untuk proyektil diluncurkan dari asal, sehingga ri = 0. Posisi akhir partikel dapat dianggap sebagai superposisi posisi awalnya ri, istilah vit, yaitu perpindahan jika tidak ada percepatan, dan istilah ½ gt2 yang timbul dari percepatan karena gravitasi. Dengan kata lain, jika tidak ada percepatan gravitasi, partikel akan terus bergerak sepanjang jalan yang lurus ke arah vi. Oleh karena itu, jarak vertikal ½gt2 yang mana partikel “jatuh” dari lintasan garis lurus adalah jarak yang sama bahwa obyek turun dari yang lain akan jatuh selama selang waktu yang sama.
Pada Bagian 4.2, kita menyatakan bahwa gerak dua dimensi dengan percepatan konstan dapat dianalisis sebagai kombinasi dari dua gerakan independen pada arah x dan y, dengan percepatan ax dan ay. Gerak peluru juga bisa ditangani dengan cara ini, dengan percepatan nol dalam arah x dan percepatan konstan dalam arah y, ay =-g. Oleh karena itu, ketika menganalisis gerak peluru, model itu menjadi superposisi dari dua gerakan: (1) gerak partikel di bawah kelajuan konstan dalam arah horisontal dan (2) gerak partikel di bawah percepatan konstan (terjun bebas) dalam arah vertikal . Komponen horizontal dan vertikal dari gerak sebuah proyektil yang benar-benar independen satu sama lain dan dapat ditangani secara terpisah, dengan waktu t sebagai variabel umum untuk kedua komponen.
Rentang horisontal dan Ketinggian Maksimum sebuah Proyektil
Dua poin dalam gerakan ini sangat menarik untuk dianalisa: puncak titik A, yang memiliki koordinat Cartesian (R/2, h), dan titik B, yang memiliki koordinat (R, 0). Jarak R disebut rentang horizontal proyektil, dan jarak h adalah ketinggian maksimum. Mari kita cari h dan R secara matematis dalam bentuk vi, θi, dan g.
(4.12)Rentang R adalah posisi horizontal proyektil pada waktu yang dua kali waktu di mana mencapai puncaknya, yaitu, pada saat tB = 2tA. Menggunakan komponen x Persamaan 4.9, mencatat bahwa vxi = vxB= vi cos θi, dan pengaturan xB =R saat t = 2tA, kita menemukan bahwa:
Menggunakan identitas sin 2θ = 2 sin θ cos θ, kita dapat menulis R dalam bentuk yang lebih lengkap:
(4.13)Nilai maksimum R dari Persamaan 4.13 adalah Rmax = vi2/g. Hasil ini masuk akal karena nilai maksimum sin 2θi adalah 1, yang terjadi ketika 2θi = 900. Oleh karena itu, R bernilai maksimum ketika θi = 450.
Gambar 4.10 mengilustrasikan berbagai lintasan untuk proyektil memiliki kecepatan awal yang diberikan tetapi diluncurkan pada sudut yang berbeda. Seperti yang Anda lihat, kisaran maksimum untuk θi = 450. Selain itu, untuk setiap θi selain 45 °, sebuah titik memiliki koordinat Cartesian (R, 0) dapat dicapai dengan menggunakan salah satu dari dua nilai komplementer θi, seperti 750 dan 150. Tentu saja, ketinggian maksimum dan waktu penerbangan untuk salah satu nilai θi berbeda dari ketinggian maksimum dan waktu penerbangan untuk nilai komplementer.
Strategi Pemecahan Soal Gerak Proyektil
Kami sarankan Anda menggunakan pendekatan sebagai berikut ketika memecahkan masalah gerak peluru.
1. Konseptual. Pikirkan tentang apa yang terjadi secara fisik dalam masalah ini. Menetapkan representasi mental dengan membayangkan proyektil bergerak sepanjang lintasan
2. Kategorisasi. Konfirmasikan bahwa masalah melibatkan partikel jatuh bebas dan bahwa hambatan udara diabaikan. Pilih sistem koordinat dengan x pada arah horizontal dan y dalam arah vertikal.
3. Analisa. Jika vektor kelajuan awal diberikan, selesaikan dalam komponen x dan y. Perlakukan gerakan horizontal dan gerak vertikal berdiri sendiri. Analisa gerak horizontal proyektil dengan model kelajuan partikel konstan. Analisa gerak vertikal proyektil dengan model percepatan partikel konstan.
4. Finalisasi. Begitu Anda telah menentukan hasil Anda, periksa untuk melihat apakah jawaban Anda konsisten dengan representasi mental dan piktorial dan hasil Anda adalah realistis (Serway, 2010:73-82).
Tinggalkan komentar