MOMENTUM SUDUT (CHAPTER11)

11.1 Produk Vector dan Torsi
11.2 Analisis Model: Sistem Tak terisolasi (Momentum Sudut)
11.3 Momentum Sudut dari Rotasi benda tegar
11.4 Analisis Model: Sistem Terisolasi (Momentum Sudut)
11.5 Gerak giroskop dan Tops

Topik utama dari bab ini adalah momentum sudut, besaran yang memainkan peran kunci
dalam dinamika rotasi. Dalam analogi dengan prinsip kekekalan momentum linear, ada juga prinsip kekekalan momentum sudut. Momentum sudut dari sistem terisolasi adalah konstan. Untuk momentum sudut sistem terisolasi adalah salah satu yang tidak ada torsi eksternal yang bekerja pada sistem. Jika torsi eksterna total bekerja pada sistem, itu nonisolated (tak terisolasi). Seperti hukum kekekalan momentum linier, hukum kekekalan momentum sudut merupakan hukum dasar fisika, sama-sama berlaku untuk sistem relativistik dan kuantum.

11.1 Produk Vector dan Torsi

Satu pertimbangan penting dalam menentukan momentum sudut adalah proses mengalikan dua vektor dengan cara operasi yang disebut produk vektor. Kita akan memperkenalkan produk vektor dengan mempertimbangkan sifat vektor torsi.

Perhatikan gaya F yang bekerja pada sebuah partikel pada posisi vektor r (Gambar. 11.1 pada halaman 320). Seperti yang kita lihat dalam Bagian 10.6, besarnya torsi akibat gaya ini terhadap suatu sumbu yang melewati titik asal adalah rF sin f, dimana f adalah sudut antara r dan F. Sumbu tentang yang F cenderung menghasilkan rotasi tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh r dan F. 

Vektor torsi t berkaitan dengan dua vektor r dan F. Kita dapat membangun hubungan matematis antara t, r, dan F menggunakan operasi matematika yang disebut produk vektor:

t = r x F                                                             (11.1)

Kita sekarang memberikan definisi formal dari produk vektor. Mengingat setiap dua vektor A dan B, produk vektor A X B didefinisikan sebagai vektor ketiga C, yang memiliki besaran AB sin q, dimana q adalah sudut antara A dan B. Artinya, jika C diberikan oleh:

C = B X A                                                          (11.2)

besarnya adalah

C = AB sin q                                                       (11.3)

Besaran AB sin q sama dengan daerah genjang yang dibentuk oleh A dan B seperti yang ditunjukkan pada Gambar 11.2. Arah C tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh A dan B, dan cara terbaik untuk menentukan arah ini adalah dengan menggunakan aturan tangan kanan yang diilustrasikan pada Gambar 11.2. Empat jari tangan kanan ditunjuk sepanjang A dan kemudian "dibungkus" dalam arah yang akan memutar A ke B melalui sudut q. Arah ibu jari tegak adalah arah A X B = C. Karena notasi, A X B sering kita baca "A cross B," sehingga produk vektor juga disebut cross product.

Beberapa sifat dari produk vektor yang mengikuti dari definisi adalah sebagai berikut:
1. Berbeda dengan produk skalar, produk vektor tidak komutatif. Sebaliknya, urutan dua vektor yang dikalikan dalam produk vektor penting:

A X B = -B X A                                                            (11.4)

Oleh karena itu, jika Anda mengubah urutan vektor-vektor pada produk vektor, Anda harus mengubah tanda. Anda dapat dengan mudah memverifikasi hubungan ini dengan aturan tangan kanan.

2. Jika A adalah sejajar dengan B ( q = 0 atau 180⁰), maka A x B = 0, karena itu, berikut bahwa A x A = 0.

3. Jika A tegak lurus terhadap B, maka |A x B| = AB.

4. Produk vektor mematuhi hukum distributif:

A x (B + C) =  A x B + A x B                                    (11.5)

5. Turunan dari produk vektor dengan memperhatikan beberapa variabel seperti t adalah:

                                     (11.6)

dimana hal ini penting untuk menjaga urutan perkalian dari persamaan di sisi kanan dalam pandangan Persamaan 11.4.

Hal ini tersisa sebagai latihan (Soal 6) untuk menunjukkan dari Persamaan 11.3 dan 11.4 dan dari definisi vektor satuan bahwa produk cross dari vektor satuan i , j, dan k mematuhi aturan berikut:

Tanda-tanda yang dipertukarkan dalam produk cross. Misalnya, A x (-B) = -A x B dan i x (-j) = - i x j.

Hasil cross dari dua vektor A dan B dapat dinyatakan dalam bentuk determinan berikut:

Memperluas penentu ini memberikan hasil:

A x B = (A_yB_z - A_zB_y ) i + (A_zB_x - A_xB_z ) j + (A_xB_y - A_yB_x ) k                 (11.8)

Mengingat definisi cross produk, kita sekarang dapat menetapkan arah ke vektor torsi. Jika gaya terletak pada bidang xy seperti dalam Gambar 11.1, torsi t diwakili oleh vektor sejajar dengan sumbu z. Gaya pada Gambar 11.1 menciptakan torsi yang cenderung memutar objek yang berlawanan dengan sumbu z, arah t adalah terhadap peningkatan z, dan karena itu t dalam arah z positif. Jika kita membalikkan arah F pada Gambar 11.1, t akan berada di arah negatif (Serway, 2010:319-321).