Kecepatan Gelombang Pada Tali

16.3 Kecepatan Gelombang Pada Tali

Pada bagian ini, kita menentukan kecepatan pulsa transversal berjalan pada tali yang tegang. Pertama mari kita dengan konsep memprediksi parameter yang menentukan kecepatan. Jika string tegang ditarik ke samping dan kemudian dilepaskan, gaya tegang bertanggung jawab untuk mempercepat elemen tertentu dari string kembali ke posisi kesetimbangan. Menurut hukum kedua Newton, percepatan elemen meningkat dengan meningkatnya tegangan. Jika elemen kembali ke posisi ekuilibrium lebih cepat karena meningkatnya akselerasi ini, kita secara intuitif akan berpendapat bahwa kecepatan gelombang lebih besar. Oleh karena itu, kita berharap kecepatan gelombang meningkat dengan meningkatnya tegangan.

Demikian juga, karena lebih sulit untuk mempercepat unsur string besar daripada string tipis, kecepatan gelombang harusnya berkurang ketika massa per satuan panjang dari string bertambah. Jika tegangan dalam string adalah T dan massa per satuan panjang adalah μ (huruf Yunani mu), kecepatan gelombang, sebagaimana akan kita tunjukkan, adalah:

v =                                                                                            (16.18)

Mari kita menggunakan analisis mekanik untuk menurunkan Persamaan 16.18. Pertimbangkan pulsa bergerak pada tali kencang ke kanan dengan kecepatan seragam v diukur relatif terhadap kerangka acuan stasioner seperti terlihat pada Gambar 16.11a (halaman 474). Tinggal dalam kerangka acuan ini, akan lebih mudah untuk memilih kerangka acuan inersia yang berbeda yang bergerak bersama dengan pulsa dengan kecepatan yang sama seperti pulsa sehingga pulsa sedang diam di dalam kerangka. Perubahan kerangka acuan ini diperboleh karena hukum Newton berlaku baik dalam bingkai stasioner atau yang bergerak dengan kecepatan konstan. Dalam kerangka acuan baru kita, ditampilkan dalam gambar yang diperbesar pada Gambar 16.11b, semua elemen dari string pindah ke kiri: elemen tertentu dari string awalnya di sebelah kanan pulsa yang bergerak ke kiri, berdiri dan mengikuti bentuk pulsa, dan kemudian terus bergerak ke kiri. Kedua bagian dari Gambar 16.11 menunjukkan seperti sebuah elemen ketika ia terletak di bagian atas pulsa.

 

Elemen kecil dari string dengan panjang ∆s membentuk mendekati busur lingkaran berjari-jari R. Dalam gerak kerangka acuan (yang bergerak ke kanan pada kecepatan v bersama dengan pulsa), yang diarsir elemen bergerak ke kiri dengan kecepatan v Elemen ini memiliki akselerasi sentripetal sama dengan v²/R, yang diberikan oleh komponen gaya T yang besarnya adalah tegangan dalam string. Gaya T bertindak di kedua sisi elemen dan bersinggungan dengan busur seperti yang ditunjukkan pada Gambar 16.11b. Komponen horizontal T hilang, dan masing-masing komponen vertikal T sin q bertindak ke bawah. Oleh karena itu, gaya total pada elemen adalah 2T sin q menuju pusat busur tersebut. Karena elemen kecil, q kecil, dan karena itu kita dapat menggunakan pendekatan sudut-kecil sin q < q. Jadi, gaya radial total:

F_r = 2T sin q » 2Tq

Unsur memiliki massa m = μ ∆s. Karena elemen merupakan bagian dari lingkaran dan subtends sebuah sudut 2q di pusat, ∆s = R(2q), dan

m = μ ∆s = 2 μRq

Menerapkan hukum kedua Newton untuk unsur ini dalam arah radial memberikan:

F_r = ma = mv²/R

2Tq = 2μRqv²/R → v =

Ungkapan ini untuk v adalah Persamaan 16.18.

Perhatikan bahwa derivasi ini didasarkan pada asumsi bahwa tinggi pulsa relatif kecil terhadap panjang string. Dengan menggunakan asumsi ini, kita dapat menggunakan pendekatan sin q  < q. Selanjutnya, model tersebut mengasumsikan tegangan T tidak terpengaruh oleh adanya pulsa, sehingga T adalah sama di semua titik pada string. Akhirnya, bukti ini tidak mengasumsikan setiap bentuk tertentu untuk pulsa. Oleh karena itu, sebuah pulsa bentuk apapun berjalan sepanjang string dengan kecepatan v = tanpa ada perubahan dalam bentuk pulsa (Serway, 2010:473-474).