Analisis Model: Partikel dalam Gerak Harmonis Sederhana



15.2 Analisis Model: Partikel dalam Gerak Harmonis Sederhana



Gerak dijelaskan dalam bagian sebelumnya terjadi begitu sering bahwa kita mengidentifikasi model partikel dalam gerak harmonik sederhana untuk mewakili situasi seperti ini. Untuk mengembangkan representasi matematis untuk model ini, kita umumnya akan memilih x sebagai sumbu sepanjang terjadinya osilasi, maka kita akan menggunakan notasi subscript-x dalam diskusi ini. Ingat bahwa, menurut definisi, a= dv/dt = d2x/dt2, sehingga kita bisa mengekspresikan Persamaan 15.2 sebagai:

d2x/dt2 = -kx/m                                                                                 (15.3)

Jika kita menunjukkan rasio k/m dengan simbol
w2 (kita memilih w2 daripada w sehingga membuat solusi yang kita kembangkan di bawah bentuk yang lebih sederhana), maka:
w2 = k/m                                                                                           (15.4)

dan Persamaan 15.3 dapat ditulis dalam bentuk

d2x/dt2 = -
w2x                                                                                    (15.5)

Mari kita sekarang menemukan solusi matematis untuk Persamaan 15.5, yaitu fungsi x(t) yang memenuhi persamaan diferensial orde kedua dan merupakan representasi matematis dari posisi partikel sebagai fungsi waktu. Kita mencari fungsi yang turunan keduanya adalah sama dengan fungsi asli dengan tanda negatif dan dikalikan dengan
w2. Fungsi trigonometri sinus dan cosinus menunjukkan perilaku ini, sehingga kita dapat membangun solusi sekitar satu atau keduanya. Berikut fungsi kosinus adalah solusi untuk persamaan diferensial:

x(t) = A cos (
wt + f)                                                                (15.6)

dimana A,
w, dan f adalah konstanta. Untuk menunjukkan secara eksplisit bahwa solusi ini memenuhi Persamaan 15.5, perhatikan bahwa:



Membandingkan Persamaan 15,6 dan 15,8, kita melihat bahwa d2x/dt2 = -
w2x dan Persamaan 15.5 tepat.



Parameter A,
w, dan f adalah konstanta gerak. Untuk memberikan makna fisik untuk konstanta ini, akan lebih mudah untuk membentuk representasi grafis gerak dengan memplot x sebagai fungsi dari t seperti pada Gambar 15.2a. Pertama, A disebut amplitudo gerak, hanya nilai maksimum posisi partikel baik dalam arah x positif atau negatif. Konstanta w disebut frekuensi sudut, dan memiliki satuan radian per detik. Ini adalah ukuran dari seberapa cepat osilasi yang terjadi, semakin banyak osilasi per satuan waktu, nilai tersebut lebih tinggi dari nilai w. Dari Persamaan 15.4, frekuensi sudut adalah:

                                                                                     (15.9)

Konstanta sudut f disebut fase konstan (atau sudut fase awal) dan bersama dengan amplitudo A, ditentukan secara unik oleh posisi dan kecepatan partikel pada t = 0. Jika partikel berada pada posisi maksimum x = A pada t = 0, konstanta fase adalah f = 0 dan representasi grafis dari gerak adalah seperti yang ditunjukkan pada Gambar 15.2b. Besaran (wt + f) disebut fase gerak. Perhatikan bahwa fungsi x (t) adalah periodik dan nilainya adalah sama setiap kali wt meningkat sebesar 2p radian.

Persamaan 15.1, 15.5, dan 15.6 bentuk dasar representasi matematis dari model partikel dalam gerak harmonik sederhana. Jika Anda menganalisis situasi dan menemukan bahwa gaya pada sebuah benda dimodelkan sebagai partikel adalah bentuk matematika Persamaan 15.1, Anda tahu gerak merupakan dari sebuah osilator harmonik sederhana dan posisi partikel digambarkan oleh Persamaan 15.6. Jika Anda menganalisis sistem dan menemukan bahwa itu dijelaskan oleh persamaan diferensial dari bentuk Persamaan 15,5, gerak adalah dari sebuah osilator harmonik sederhana. Jika Anda menganalisis situasi dan menemukan bahwa posisi partikel digambarkan oleh Persamaan 15.6, Anda tahu partikel mengalami gerak harmonik sederhana.

Mari kita menyelidiki lebih lanjut deskripsi matematis dari gerak harmonik sederhana. Periode gerak T adalah interval waktu yang diperlukan untuk partikel untuk pergi melalui satu siklus penuh geraknya (Gambar. 15.2a). Artinya, nilai-nilai x dan
w untuk partikel pada waktu t sama dengan nilai x dan w pada waktu t + T. Karena fase meningkat sebesar 2p radian dalam interval waktu T,
[
w (t + T) + f] - (wt + f) = 2p

Penyederhanaan ungkapan ini memberikan wT = 2p, atau
T = 2
p/w                                                                         (15.10)

Kebalikan dari periode disebut frekuensi gerak f. Sedangkan periode adalah interval waktu per osilasi, frekuensi merupakan jumlah osilasi partikel yang dialami per satuan interval waktu:
f = 1/T =
w/2p                                                               (15.11)

Satuan f adalah siklus per detik, atau hertz (Hz). Mengatur ulang Persamaan 15.11 memberikan:
w = 2pf = 2p/T                                                              (15.12)

Persamaan 15.9 sampai 15.11 dapat digunakan untuk mengekspresikan periode dan frekuensi gerakan untuk partikel dalam gerak harmonik sederhana dalam hal karakteristik m dan k dari sistem sebagai:
                                                                          (15.13)
                                                                        (15.14)

Artinya, periode dan frekuensi hanya bergantung pada massa partikel dan gaya konstan dari pegas dan bukan pada parameter gerak, seperti A atau f. Seperti yang kita harapkan, frekuensi lebih besar untuk pegas kaku (nilai yang lebih besar dari k) dan menurun dengan meningkatnya massa partikel.

Kita dapat memperoleh kecepatan dan acceleration dari partikel yang mengalami gerak harmonik sederhana dari Persamaan 15.7 dan 15.8:
v = dx/dt =
- wA sin(wt + f)                                                  (15.15)
a= d2x/dt2 = 
- w2A cos(wt + f)                                                (15.16)

Dari Persamaan 15.15, kita melihat bahwa karena fungsi sinus dan cosinus berosilasi antara ±1, nilai-nilai ekstrim dari kelajuan v adalah ± wA. Demikian juga, Persamaan 15.16 menunjukkan bahwa nilai-nilai ekstrim percepatan a adalah ± w2A. Oleh karena itu, nilai-nilai maksimum besaran kecepatan dan percepatan adalah:
vmax =
wA =                                                                        (15.17)
amax =
w2A =                                                                          (15.18)

Gambar 15.5a memplot posisi terhadap waktu untuk nilai sembarang dari fase konstan. Kurva hubungan kelajuan-waktu dan percepatan-waktu diilustrasikan pada Gambar 15.5b dan 15.5c, masing-masing. Mereka menunjukkan bahwa fase kecepatan berbeda dari fase posisi sebesar p/2 rad, atau 900. Artinya, bila x adalah maksimum atau minimum, kecepatan adalah nol. Demikian juga, jika x adalah nol, kecepatan maksimum. Selanjutnya, perhatikan bahwa fase percepatan berbeda dari fase posisi sebesar p radian, atau 1800. Misalnya, ketika x adalah maksimum, a memiliki besaran maksimum dalam arah yang berlawanan.



Persamaan 15.6 menggambarkan gerak harmonik sederhana dari partikel secara umum. Mari kita sekarang melihat bagaimana untuk mengevaluasi konstanta gerak. Frekuensi sudut
w dievaluasi menggunakan Persamaan 15.9. Konstanta A dan f dievaluasi dari kondisi awal, yaitu, keadaan osilator pada t= 0. Misalkan balok diatur ke dalam gerakan dengan menariknya dari kesetimbangan oleh jarak A dan melepaskannya dari istirahat di t = 0 seperti pada Gambar 15.6. Kita kemudian harus membutuhkan solusi kita untuk x (t) dan v (t) (Eqs. 15,6 dan 15,15) untuk mematuhi kondisi awal bahwa x(0) = A dan v(0) = 0:
x(0) = A cos
f = A
v(0) = -
wA sin f = 0


Kondisi ini terpenuhi jika
f = 0, memberikan x = A cos wt sebagai solusi kita. Untuk memeriksa solusi ini, melihat bahwa ia memenuhi syarat bahwa x(0) = A karena cos 0 = 1.



Posisi, kelajuan, dan percepatan balok terhadap waktu yang diplot pada Gambar 15.7a untuk kasus khusus ini. Percepatan mencapai nilai ekstrim
±w2A ketika posisi memiliki nilai-nilai ekstrim dari ±A. Selain itu, kecepatan memiliki nilai ekstrim ±wA, yang keduanya terjadi pada x = 0. Oleh karena itu, solusi kuantitatif sesuai dengan deskripsi kualitatif dari sistem ini.



Mari kita mempertimbangkan kemungkinan lain. Misalkan sistem ini berosilasi dan kita mendefinisikan t = 0 sebagai instan balok melewati posisi teregang pegas sambil bergerak ke kanan (Gambar. 15,8). Dalam hal ini, solusi kita untuk x(t) dan v(t) harus mematuhi kondisi awal bahwa x(0) = 0 dan v(0) = vi:
x(0) = A cos
f = 0
v 0) = -
wA sin f = vi

Yang pertama dari kondisi ini memberitahu kita bahwa f =±p /2. Dengan pilihan ini untuk f, kondisi kedua mengatakan kepada kita bahwa A = ±vi/w Karena kecepatan awal adalah positif dan amplitudo harus positif, kita harus memiliki f = -p/2. Oleh karena itu, solusinya adalah:
 x = cos(wt-p/2)

Grafik posisi, kelajuan, dan percepatan terhadap waktu untuk pilihan ini t = 0 ditunjukkan pada Gambar 15.7b. Perhatikan bahwa kurva ini adalah sama seperti pada Gambar 15.7a, tetapi bergeser ke kanan dengan seperempat dari sebuah siklus. Pergeseran ini dijelaskan secara matematis oleh fase konstan
f = -p/2, yang merupakan seperempat dari siklus penuh 2p (Serway, 2010:436-440).

No comments for "Analisis Model: Partikel dalam Gerak Harmonis Sederhana"