Analisis Model: Sistem Terisolasi Dan Tak Terisolasi (Momentum)


9.2 Analisis Model: Sistem Terisolasi (Momentum)

Menggunakan definisi momentum, Persamaan 9.1 dapat ditulis
d(p1 + p2)/dt = 0
Karena turunan waktu dari total momentum Ptot = p1 + p2 adalah nol, kita menyimpulkan bahwa momentum total dari sistem terisolasi dari dua partikel dalam Gambar 9.1 harus tetap konstan:
Ptot = konstan                                             (9.4)
atau equivalen dengan,
p1i + p2i = p1f + p2f                                      (9.5)

di mana p1i dan p2i adalah nilai awal dan p1f dan p2f adalah nilai-nilai akhir momentum untuk dua partikel untuk interval waktu selama partikel berinteraksi. Persamaan 9.5 dalam bentuk komponen menunjukkan bahwa total momentum pada arah x, y, dan z semua independen konservatif:
p1ix + p2ix = p1fx + p2fx
p1iy + p2iy = p1fy + p2fy
p1iz + p2iz = p1fz + p2fz                                   (9.6)

Persamaan 9.5 adalah pernyataan matematis dari model analisis baru dari sistem terisolasi (momentum). Hal ini dapat diperluas untuk sejumlah partikel dalam suatu sistem terisolasi seperti yang kita tunjukkan dalam Bagian 9.7. Kita mempelajari versi energi dari model sistem yang terisolasi dalam Bab 8 dan sekarang kita memiliki versi momentum. Secara umum, Persamaan 9.5 dapat dinyatakan dalam kata-kata sebagai berikut:
Setiap kali dua atau lebih partikel dalam sebuah sistem yang terisolasi berinteraksi, momentum total sistem tetap konstan.

Pernyataan ini memberitahu kita bahwa momentum total dari sistem terisolasi setiap saat sama dengan momentum awal.

Perhatikan bahwa kita telah membuat tidak ada pernyataan tentang jenis gaya yang bekerja pada partikel dari sistem. Selain itu, kita belum menentukan apakah gaya tersebut konservatif atau nonkonservatif. Kita juga tidak menunjukkan apakah gaya konstan atau tidak. Satu-satunya persyaratan adalah bahwa gaya harus internal untuk sistem. Persyaratan tunggal ini harus memberikan petunjuk tentang model gaya yang baru ini.

9.3 Analisis Model: Sistem Nonisolated (Momentum)

Menurut Persamaan 9.3, momentum dari sebuah partikel berubah jika gaya total bekerja pada partikel. Hal yang sama dapat dikatakan tentang gaya total diterapkan pada sistem seperti yang kita akan tunjukkan secara eksplisit dalam Pasal 9.7: momentum dari suatu sistem berubah jika gaya total dari lingkungan bekerja pada sistem. Ini mungkin terdengar mirip dengan diskusi kita mengenai energi dalam Bab 8: energi dari suatu sistem berubah jika energi melintasi batas dari sistem ke atau dari lingkungan. Pada bagian ini, kita memperhatikan sistem tak terisolasi. Untuk pertimbangan energi, suatu sistem tak terisolasi jika transfer energi melintasi batas sistem dengan salah satu cara yang tercantum dalam Bagian 8.1. Untuk pertimbangan momentum, sebuah sistem tak terisolasikan jika gaya total bekerja pada sistem untuk interval waktu. Dalam kasus ini, kita bisa membayangkan momentum yang ditransfer ke sistem dari lingkungan oleh rata-rata gaya total. Mengetahui perubahan momentum yang disebabkan oleh gaya berguna dalam memecahkan beberapa jenis masalah. Untuk membangun  pemahaman yang lebih baik tentang konsep penting ini, mari kita asumsikan gaya total ∑F bekerja pada sebuah partikel dan gaya ini mungkin berbeda dengan waktu. Menurut hukum kedua Newton,
 ∑F = dp/dt, atau
dp = ∑F dt                                                                       (9.7)

Kita bisa mengintegrasikan ungkapan ini untuk menemukan perubahan dalam momentum partikel ketika gaya bekerja selama beberapa interval waktu. Jika momentum partikel berubah dari pi saat ti ke pf saat tf, dengan mengintegrasikan Persamaan 9.7 memberikan
p = pf - pi =
                                                  (9.8)

Untuk mengevaluasi integral, kita perlu mengetahui bagaimana gaya total berubah terhadap waktu. Besaran di sisi kanan dari persamaan ini adalah sebuah vektor yang disebut impuls dari gaya total ∑F yang bekerja pada sebuah partikel selama interval waktu ∆t = tf - ti:
                                            (9.9)

Dari definisi, kita melihat bahwa impuls I adalah besaran vektor yang memiliki magnitudo yang sama ke daerah di bawah kurva gaya-waktu yang dijelaskan pada Gambar 9.3a. Diasumsikan gaya berubah terhadap waktu dengan cara yang umum ditunjukkan pada gambar dan nol dalam interval waktu ∆t = tf - ti. Arah dari vektor impuls adalah sama dengan arah perubahan momentum. Impulse memiliki dimensi momentum, yaitu, ML / T. Impulse bukanlah sifat partikel, melainkan merupakan ukuran sejauh mana gaya eksternal merubah momentum partikel.

Menggabungkan Persamaan 9.8 dan 9.9 memberikan kita pernyataan penting yang dikenal sebagai teorema impuls-momentum:
Perubahan momentum sebuah partikel sama dengan impuls dari gaya total yang bekerja pada partikel:
p = I                                                                    (9,10)

Pernyataan ini setara dengan hukum kedua Newton. Ketika kita mengatakan bahwa sebuah impuls diberikan kepada partikel, kita mengartikan bahwa momentum ditransfer dari agen eksternal untuk partikel yang. Persamaan 9.10 identik dalam bentuk dengan konservasi persamaan energi, Persamaan 8.1, dan perluasan penuh, Persamaan 8.2. Persamaan 9.10 adalah pernyataan yang paling umum dari prinsip kekekalan momentum dan disebut persamaan kekekalan momentum. Dalam kasus pendekatan momentum, sistem terisolasi cenderung muncul dalam masalah yang lebih sering daripada sistem nonisolated, demikian, dalam prakteknya, persamaan kekekalan momentum sering diidentifikasi sebagai kasus khusus dari Persamaan 9.5.

Sisi kiri Persamaan 9.10 merupakan perubahan momentum dari sistem, yang dalam hal ini adalah partikel tunggal. Sisi kanan adalah ukuran dari seberapa banyak momentum melintasi batas dari sistem karena gaya total yang diterapkan pada sistem. Persamaan 9.10 adalah pernyataan matematis dari model analisis baru, model sistem nonisolated (momentum). Meskipun persamaan ini mirip dalam bentuk dengan Persamaan 8.1, ada beberapa perbedaan dalam penerapannya pada masalah. Pertama, Persamaan 9.10 adalah persamaan vektor, sedangkan Persamaan 8.1 adalah persamaan skalar. Oleh karena itu, arah penting untuk Persamaan 9.10. Kedua, hanya ada satu jenis momentum dan karena itu hanya salah satu cara untuk menyimpan momentum dalam suatu sistem. Sebaliknya, seperti yang kita lihat dari Persamaan 8.2, ada tiga cara untuk menyimpan energi dalam sistem: kinetik, potensial, dan internal. Ketiga, hanya ada satu cara untuk mentransfer momentum ke dalam sistem: dengan penerapan gaya pada sistem selama suatu interval waktu. Persamaan 8.2 menunjukkan enam cara yang telah kita identifikasi seperti mentransfer energi ke dalam sistem. Oleh karena itu,
tidak ada perluasan Persamaan 9.10 analog dengan Persamaan 8.2.

Karena gaya total menyampaikan sebuah impils ke suatu partikel secara umum dapat berbeda dalam waktu, akan lebih mudah untuk menentukan gaya total waktu rata-rata:
                                         (9.11)

dimana ∆t = tf - ti. ( Persamaan ini merupakan aplikasi dari teorema nilai rata-rata dari kalkulus) Oleh karena itu, kita dapat mengekspresikan Persamaan 9.9 sebagai:
I = ( ∑F )avg  ∆t                                                           (9.12)

Ini gaya waktu rata-rata, yang ditunjukkan pada Gambar 9.3b, dapat diartikan sebagai gaya konstan yang akan diberikan kepada partikel dalam interval waktu ∆t  dengan impuls yang sama bahwa waktu-variasi gaya memberikan lebih dari interval yang sama.

Pada prinsipnya, jika ∑F dikenal sebagai fungsi waktu, impuls dapat dihitung dari Persamaan 9.9. Perhitungan menjadi sangat sederhana jika gaya yang bekerja pada partikel adalah konstan. Dalam kasus ini, ( ∑F )avg = ∑F , di mana ∑F adalah gaya total yang konstan, dan Persamaan 9.12 menjadi:
I = ∑F ∆t                                                                     (9.13)

Dalam banyak situasi fisik, kita akan menggunakan apa yang disebut pendekatan impuls, di mana kita menganggap salah satu gaya yang diberikan pada partikel bekerja untuk waktu yang singkat tapi jauh lebih besar daripada saat gaya lain. Dalam kasus ini, jumlah gaya ∑F dalam Persamaan 9.9 diganti dengan gaya F tunggal untuk menemukan impuls pada partikel. Pendekatan ini sangat berguna dalam mengatasi tumbukan di mana durasi tumbukan sangat singkat. Ketika pendekatan ini dibuat, gaya tunggal disebut sebagai gaya impulsif.
Sebagai contoh, ketika bola bisbol dipukul dengan tongkat, waktu tumbukan adalah sekitar 0,01 s dan gaya rata-rata yang diberikan oleh tongkat pada bola saat ini biasanya beberapa ribu newton. Karena gaya kontak ini jauh lebih besar dari besarnya gaya gravitasi, pendekatan impuls membenarkan kita mengabaikan gaya gravitasi yang diberikan pada bola dan tongkat. Ketika kita menggunakan pendekatan ini, penting untuk diingat bahwa pi dan pf masing-masing merupakan momentum sesaat sebelum dan setelah tumbukan. Oleh karena itu, dalam situasi di mana tepat untuk menggunakan pendekatan impuls, partikel bergerak sangat sedikit selama tumbukan (Serway, 2010:239-241).

No comments for "Analisis Model: Sistem Terisolasi Dan Tak Terisolasi (Momentum)"