Gerak melingkar dan Aplikasi Lain dari Hukum Newton (Chapter 6)-part3

6.4 Gerak dalam Kehadiran Pasukan resistif

Dalam Bab 5, kita mendefinisikan gaya gesekan kinetik yang bekerja pada suatu benda yang bergerak pada beberapa permukaan. Kita benar-benar mengabaikan setiap interaksi antara obyek dan medium yang bergerak. Sekarang pertimbangkan efek dari medium tersebut, yang dapat berupa cairan atau gas. Medium memberikan gaya resistif R pada objek yang bergerak melaluinya. Beberapa contohnya adalah hambatan udara yang terkait dengan gerak kendaraan (kadang-kadang disebut hambatan udara) dan gaya kental yang bekerja pada benda yang bergerak melalui cairan. Besarnya R tergantung pada faktor-faktor seperti kecepatan obyek, dan R selalu berlawanan arah dengan gerak benda relatif terhadap medium. Arah ini mungkin atau mungkin tidak dalam berlawanan arah kecepatan benda menurut pengamat. Sebagai contoh, jika sebuah kelereng dijatuhkan ke dalam botol sampo, kelereng bergerak ke bawah dan gaya resistif adalah ke atas yang melawan jatuhnya kelereng. Sebaliknya, bayangkan saat di mana tidak ada angin dan Anda melihat bendera tergantung lemas di tiang bendera. Ketika angin mulai bertiup ke arah kanan, bendera bergerak ke arah kanan. Dalam kasus ini, gaya pada bendera dari udara yang bergerak adalah ke kanan dan gerakan bendera dalam menanggapi juga ke kanan, ke arah yang sama dengan gaya tersebut. Karena udara bergerak ke arah kanan dengan hormat ke bendera, bendera bergerak ke kiri relatif ke udara. Oleh karena itu, arah gaya memang berlawanan dengan arah gerakan bendera sehubungan dengan udara! Besarnya gaya resistif dapat bergantung pada kecepatan dalam cara yang kompleks, dan di sini kita hanya mempertimbangkan dua model yang disederhanakan. Pada model pertama, kita asumsikan gaya resistif sebanding dengan kecepatan benda bergerak, model ini berlaku untuk benda yang jatuh perlahan pada cairan dan benda-benda yang sangat kecil, seperti partikel debu, bergerak pada udara. Dalam model kedua, kita asumsikan gaya resistif yang sebanding dengan kuadrat dari kecepatan objek bergerak, benda besar, seperti skydivers bergerak melalui udara dengan jatuh bebas, mengalami gaya semacam itu.

Model 1: Gaya Resistif Sebanding dengan Kelajuan Obyek
Jika kita memodelkan gaya resistif bekerja pada suatu benda bergerak melalui cairan atau gas sebanding dengan kelajuan benda, gaya resistif dapat dinyatakan sebagai
R = -bv                                                                                                (6.2)
di mana b adalah konstanta yang nilainya tergantung pada sifat medium dan pada bentuk dan dimensi objek dan v adalah kelajuan dari objek relatif terhadap medium. Tanda negatif menunjukkan bahwa R adalah dalam arah yang berlawanan terhadap v.

Perhatikan sebuah bola kecil bermassa m dilepaskan dari keadaan diam dalam cairan seperti pada Gambar 6.13a. Dengan asumsi satu-satunya gaya yang bekerja pada bola adalah gaya resistif R =-bv dan gaya gravitasi F_g, mari kita jelaskan geraknya. Menerapkan hukum kedua Newton untuk gerak vertikal, memilih arah ke bawah menjadi positif, dan mencatat bahwa ∑F_y = mg - bv, kita peroleh:
mg - bv = ma                                                                                      (6.3)

di mana percepatan bola adalah ke bawah. Perhatikan bahwa percepatan a adalah sama dengan dv/dt memberikan:
                                                                           (6.4)

Persamaan ini disebut persamaan diferensial, dan metode pemecahan mungkin tidak familiar bagi Anda sebelumnya. Perhatikan, bagaimanapun, bahwa pada awalnya ketika v = 0, besarnya gaya resistif juga nol dan percepatan bola hanya g. Saat t meningkat, besarnya gaya resistif bertambah dan percepatan menurun. Percepatan mendekati nol ketika besarnya gaya resistif mendekati berat bola. Dalam situasi ini, kecepatan bola mendekati kecepatan terminal v_T.

Kecepatan terminal diperoleh dari Persamaan  6.4 dengan menetapkan dv/dt = 0, yang memberikan
mg- bv_T = 0 atau v_T = mg/b

Karena Anda mungkin belum terbiasa dengan persamaan diferensial, kita tidak akan menampilkan rincian solusi yang memberikan ekspresi untuk v untuk setiap waktu t. Jika v = 0 pada t = 0, ungkapan ini adalah:
v = mg/b (1 – e^-bt/m) = v_T (1 – e^-t/t )                                                 (6.5)

Fungsi ini dimuat pada Gambar 6.13c. Simbol e merupakan basis logaritma natural dan juga disebut bilangan Euler: e= 2,718 28. Konstanta waktu t = m/b (huruf Yunani tau) adalah waktu di mana bola dilepaskan dari  di t = 0 mencapai 63,2% dari kecepatan terminal, ketika t = t, Persamaan 6.5 menghasilkan v = 0.632v_T. (bilangan  0,632 adalah 1- e^-1.)

Kita bisa memeriksa bahwa Persamaan 6.5 adalah solusi untuk Persamaan 6.4 oleh diferensiasi langsung:

Substitusi ke Persamaan 6.4 kedua ungkapan ini untuk dv/dt dan ekspresi untuk v diberikan oleh Persamaan 6.5 menunjukkan bahwa solusi kita memenuhi persamaan diferensial.

Model 2: Gaya resistif Sebanding dengan Kecepatan Kuadrat Obyek
Untuk obyek bergerak dengan kecepatan tinggi melalui udara, seperti pesawat terbang, skydivers, mobil, dan bola, gaya resistif cukup baik dimodelkan sebanding dengan kuadrat dari kecepatan. Dalam situasi ini, besarnya gaya resistif dapat dinyatakan sebagai
                                                                          (6.6)

di mana D adalah jumlah empiris berdimensi yang disebut koefisien hambatan, r adalah densitas udara, dan A adalah luas penampang dari objek bergerak diukur dalam pesawat tegak lurus terhadap kecepatannya. Koefisien hambatan memiliki nilai sekitar 0,5 untuk benda bulat, tetapi dapat memiliki nilai sama dengan 2 untuk benda berbentuk tidak teratur. Mari kita menganalisa gerakan benda jatuh dengan gaya resistif udara yang besarnya . Misalkan sebuah benda bermassa m dilepaskan dari yang lain. Seperti pada Gambar 6.14 menunjukkan, objek mengalami dua gaya eksternal:  gaya gravitasi ke bawah F_g = mg dan gaya ke atas gaya resistif R. Oleh karena itu, besarnya gaya total adalah
                                                          (6.7)

di mana kita telah mengambil arah ke bawah untuk menjadi arah vertikal positif. Menggunakan gaya dalam Persamaan 6.7 dalam hukum kedua Newton, kita menemukan bahwa objek memiliki percepatan ke bawah yang besarnya:

                                                             (6.8)

 

Kita bisa menghitung kecepatan terminal v_T dengan memperhatikan bahwa ketika gaya gravitasi seimbang dengan gaya resistif, gaya total pada benda adalah nol dan karena itu percepatannya adalah nol. Menetapkan a= 0 dalam Persamaan 6.8 memberikan:

Sehingga

                                                                      (6.9)
Tabel 6.1 daftar kecepatan terminal beberapa benda yang jatuh di udara.

(Serway,2010:150-154).