CHAPTER 4: Gerak dalam Dua Dimensi


4.1 Vektor Posisi, Kelajuan, dan Percepatan
4.2 Gerak Dua Dimensi dengan Percepatan Konstan
4.3 Gerak Proyektil
4.4 Analisis Model: Partikel dalam Gerak Melingkar Beraturan
4.5 Percepatan Tangensial dan Radial
4.6 Kelajuan Relatif dan Percepatan Relatif

Dalam bab ini, kami mengeksplorasi kinematika dari partikel yang bergerak dalam dua dimensi. Mengetahui dasar-dasar gerak dua dimensi akan memungkinkan kita - di bab berikutnya-untuk memeriksa berbagai situasi, mulai dari gerakan satelit dalam orbit sampai gerakan elektron dalam medan listrik seragam. Kita mulai dengan mempelajari secara lebih rinci sifat vektor posisi, kelajuan, dan percepatan. Kita kemudian memperlakukan gerak proyektil dan gerak melingkar seragam sebagai kasus khusus dari gerak dalam dua dimensi. Kita juga membahas konsep gerak relatif, yang menunjukkan mengapa pengamat dalam kerangka acuan yang berbeda dapat mengukur posisi dan kelajuan yang berbeda untuk sebuah partikel yang diberikan.

4.1 Vektor Posisi, Kelajuan, dan Percepatan

Dalam Bab 2, kita menemukan bahwa gerak partikel sepanjang garis lurus seperti sumbu x benar-benar diketahui bahwa posisinya dikenal sebagai fungsi waktu. Mari kita perluas gagasan ini untuk gerak dua dimensi dari partikel dalam bidang xy. Kita mulai dengan menggambarkan posisi partikel dengan vektor posisi r, diambil dari titik asal beberapa sistem koordinat ke posisi partikel dalam bidang xy seperti pada Gambar 4.1. Pada saat ti, partikel berada pada titik A, dideskripsikan oleh vektor posisi ri. Pada beberapa waktu kemudian tf, partikel berada pada titik B, yang digambarkan oleh vektor posisi rf. Lintasan dari A ke B tidak selalu garis lurus. Seperti partikel bergerak dari A ke B dalam selang waktu ∆t = tf - ti, perubahan vektor posisinya adalah dari ri ke rf. Seperti yang kita pelajari dalam Bab 2, perpindahan adalah vektor, dan perpindahan dari partikel adalah perbedaan antara posisi akhir dan posisi awal. Kita sekarang mendefinisikan vektor perpindahan Δr untuk salah satu partikel seperti di Gambar 4.1 sebagai perbedaan antara vektor posisi akhir dan vektor posisi awal:
Δr = rf - ri                                                  (4.1)

Arah Δr ditunjukkan pada Gambar 4.1. 


Seperti yang kita lihat dari gambar, besarnya Δr kurang dari jarak tempuh sepanjang jalur melengkung diikuti oleh partikel. Seperti yang kita lihat dalam Bab 2, seringkali berguna untuk mengukur gerak dengan melihat perpindahan dibagi dengan interval waktu selama perpindahan yang terjadi, yang memberikan tingkat perubahan posisi. Kinematika dua-dimensi (atau tiga-dimensi) mirip dengan kinematika satu dimensi, tapi sekarang kita harus menggunakan notasi vektor penuh daripada tanda-tanda positif dan negatif untuk menunjukkan arah gerak.
Kita mendefinisikan kelajuan rata-rata vavg partikel selama interval waktu ∆t sebagai perpindahan dari partikel dibagi dengan interval waktu:
                                                    (4.2)
Mengalikan atau membagi besaran vektor dengan besaran skalar positif seperti ∆t hanya merubah besarnya vektor, bukan arahnya. Karena perpindahan adalah besaran vektor dan interval waktu adalah kuantitas skalar positif, kita menyimpulkan bahwa kelajuan rata-rata adalah besaran vektor diarahkan sepanjang Δr. Bandingkan Persamaan 4.2 dengan rekan satu dimensi, Persamaan 2.2.

Kelajuan rata-rata antar titik adalah independen dari jalur yang ditempuh. Itu karena kelajuan rata-rata sebanding dengan perpindahan, yang hanya bergantung pada vektor posisi awal dan akhir dan bukan pada jalan yang diambil. Seperti dengan gerakan satu dimensi, kita menyimpulkan bahwa jika partikel mulai bergerak di beberapa titik dan kembali ke titik ini melalui jalan apapun, kelajuan rata-rata adalah nol untuk perjalanan ini karena perpindahan adalah nol. Pertimbangkan lain, pemain basket kita di lapangan pada Gambar 2.2 (Bab 2). Kita sebelumnya anggap hanya bergerak satu dimensi bolak-balik antara keranjang. Namun dalam kenyataannya, mereka bergerak di atas permukaan dua dimensi, berjalan bolak-balik antara keranjang serta kiri dan kanan di lebar garis lapangan. Mulai dari satu keranjang, pemain yang diberikan dapat mengikuti jalan dua dimensi yang sangat rumit. Setelah kembali ke keranjang asli, bagaimanapun, kelajuan rata-rata pemain adalah nol karena perpindahan pemain untuk seluruh perjalanan adalah nol.


Pertimbangkan lagi gerak partikel antara dua titik dalam bidang xy seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.2. Sebagai interval waktu yang lebih kita amati gerak menjadi lebih kecil dan lebih kecil-yaitu seperti B dipindahkan ke B' dan kemudian B" dan seterusnya-arah pendekatan perpindahan dari garis singgung ke lintasan di A. Kelajuan sesaat  v didefinisikan sebagai batas kelajuan rata-rata Δr /∆t dengan ∆t mendekati  nol:

 
                                   (4.3)

Artinya, kelajuan sesaat sama dengan turunan dari vektor posisi terhadap waktu. Arah dari vektor kelajuan sesaat pada setiap titik dalam jalur partikel adalah sepanjang garis singgung ke lintasan pada saat tersebut dan dalam arah gerakan. Bandingkan Persamaan 4.3 dengan versi satu dimensi yang sesuai, Persamaan 2.5.
Besarnya sesaat vektor kecepatan  v = | v | dari partikel yang disebut kecepatan partikel, yang merupakan besaran skalar.
Sebagai partikel bergerak dari satu titik ke titik lain sepanjang beberapa jalur, perubahan vektor kelajuan sesaat dari vi pada waktu ti sampai vf saat tf. Mengetahui kelajuan pada titik-titik memungkinkan kita untuk menentukan percepatan rata-rata partikel. Percepatan rata-rata partikel aavg didefinisikan sebagai perubahan kelajuan sesaatnya vektor Δv dibagi dengan interval waktu selama ∆t terjadinya perubahan bahwa:
 
                                         (4.4)

Karena aavg adalah rasio besaran vektor Δv dan besaran skalar ∆t positif, kita menyimpulkan bahwa percepatan rata-rata adalah besaran vektor diarahkan sepanjang Δv. Seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.3, arah Δv ditemukan dengan menambahkan vektor -vi (negatif dari vi) ke vektor vf, karena menurut definisi Δv = vf - vi. Bandingkan Persamaan 4.4 dengan Persamaan 2.9.

 

Ketika percepatan rata-rata sebuah partikel berubah selama interval waktu yang berbeda, hal ini berguna untuk menentukan percepatan sesaat nya. Percepatan sesaat a yang didefinisikan sebagai nilai limit dari rasio Δv/∆t dengan ∆t mendekati nol:
 
                            (4.5)

Dengan kata lain, percepatan sesaat sama dengan turunan dari vektor kelajuan terhadap waktu. Bandingkan Persamaan 4.5 dengan Persamaan 2.10.

Berbagai perubahan dapat terjadi ketika sebuah partikel dipercepat. Pertama, besarnya vektor kelajuan (kecepatan) dapat berubah dengan waktu seperti gerak dalam garis lurus (satu dimensi). Kedua, arah vektor kelajuan dapat berubah dengan waktu bahkan jika besarnya (kecepatan) tetap konstan seperti dalam gerak dua dimensi sepanjang jalur melengkung. Akhirnya, baik besar dan arah vektor kelajuan dapat berubah secara bersamaan.

4.2 Gerak Dua Dimensi dengan Percepatan Konstan

Dalam Bagian 2.5, kita meneliti gerak satu dimensi dari partikel dengan percepatan konstan. Mari kita perhatikan gerak dua dimensi di mana percepatan partikel konstan, baik besar maupun arahnya. Sebagaimana akan kita lihat, pendekatan ini berguna untuk menganalisis beberapa tipe umum gerak.

Sebelum memulai analisa ini, kita perlu menekankan poin penting mengenai gerak dua dimensi. Bayangkan sebuah keping hoki udara bergerak dalam garis lurus sepanjang tingkat sempurna, permukaan bebas gesekan dari meja hoki udara. Gambar 4.4a menunjukkan diagram gerak dari sudut pandang yang jauh dari keping ini. Ingatlah bahwa dalam Bagian 2.4 kita menghubungkan percepatan suatu benda dengan gaya pada objek. Karena tidak ada gaya pada keping pada bidang horisontal, bergerak dengan kelajuan konstan dalam arah x. Sekarang anggaplah Anda meniup embusan udara pada keping saat melewati posisi Anda, dengan gaya dari tiupan Anda persis di arah y. Karena gaya dari hembusan udara ini tidak memiliki komponen dalam arah x, hal itu menyebabkan ada percepatan dalam arah x. Ini hanya menyebabkan percepatan sesaat dalam arah y, menyebabkan keping memiliki komponen kelajuan y konstan ketika gaya dari hembusan udara dihilangkan. Setelah tiupan udara pada keping, komponen kelajuan dalam arah x tidak berubah seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.4b. Generalisasi percobaan sederhana ini adalah bahwa gerak dalam dua dimensi dapat dimodelkan sebagai dua gerakan independen dalam dua arah masing-masing tegak lurus yang terkait dengan sumbu x dan y. Artinya, pengaruh dalam arah y tidak mempengaruhi gerak dalam arah x dan sebaliknya.

Posisi vektor untuk sebuah partikel bergerak dalam bidang xy dapat ditulis:
                                   (4.6)

dimana x, y, dan r berubah seiring dengan waktu seperti gerak partikel sedangkan vektor satuan î dan tetap konstan. Jika vektor posisi diketahui, kelajuan partikel dapat diperoleh dari Persamaan 4.3 dan 4.6, yang memberikan:
                  (4.7)

Karena percepatan a sebuah partikel diasumsikan konstan dalam diskusi ini, komponen ax dan ay juga konstanta. Oleh karena itu, kita dapat memodelkan partikel sebagai sebuah partikel dengan percepatan konstan independen di masing-masing arah dan menerapkan persamaan kinematika terpisah ke x dan y komponen vektor kecepatan. Mengganti, dari Persamaan 2.13, vxf = vxi + axt dan vyf  = vyi + ayt ke Persamaan 4.7 untuk menentukan kelajuan akhir pada setiap waktu t, kita memperoleh:
 
                    (4.8)

Hasil ini menyatakan bahwa kelajuan dari sebuah partikel pada suatu waktu t sama dengan jumlah vektor kelajuan awal vi pada waktu t = 0 dan kelajuan tambahan at pada diakuisisi pada waktu t sebagai akibat dari percepatan konstan. Persamaan 4.8 adalah versi vektor Persamaan 2.13.

Demikian pula, dari Persamaan 2.16 kita tahu bahwa x dan y koordinat dari partikel yang bergerak dengan percepatan konstan adalah:
xf = xi + vxit + ½ axt2
yf = yi + vyit + ½ ayt2
Mengganti ungkapan ini ke dalam Persamaan 4.6 (dan pelabelan posisi akhir
vektor rf) memberikan:
 
                    (4.9)
yang merupakan versi vektor Persamaan 2.16. Persamaan 4.9 memberitahu kita bahwa posisi
vektor rf dari sebuah partikel adalah jumlah vektor dari posisi awal ri, perpindahan vit timbul dari kelajuan awal partikel, dan perpindahan ½ at2 akibat percepatan konstan partikel.

Representasi grafis dari Persamaan 4.8 dan 4.9 ditunjukkan dalam Gambar 4.5. Komponen vektor posisi dan kelajuan juga diilustrasikan dalam gambar. Perhatikan, dari Gambar 4.5a bahwa vf umumnya tidak sepanjang arah baik vi atau karena hubungan antara jumlah ini adalah vektor ekspresi. Untuk alasan yang sama, dari Gambar 4.5b kita melihat bahwa rf umumnya tidak sepanjang arah ri, vi, atau. Akhirnya, perhatikan bahwa vf dan rf umumnya tidak dalam arah yang sama.

 

4.3 Gerak Proyektil

Siapapun yang sudah mengamati bisbol dalam gerak maka telah mengamati gerak peluru. Bola bergerak di jalur melengkung dan kembali ke tanah. Gerak Proyektil suatu objek sederhana untuk menganalisis jika kita membuat dua asumsi: (1) percepatan jatuh bebas adalah konstan selama rentang gerak dan diarahkan ke bawah, dan (2) efek hambatan udara dapat diabaikan. Dengan asumsi ini, kita menemukan bahwa jalan proyektil, yang kita sebut lintasan, selalu parabola seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 4.7. Kita menggunakan asumsi seluruh bab ini.


Ekspresi untuk vektor posisi proyektil sebagai fungsi waktu berikut langsung dari Persamaan 4.9, dengan percepatannya adalah bahwa karena gravitasi, a = g:
                          (4.10)

dimana komponen awal x dan y dari kelajuan proyektil adalah:
        (4.11)
Ekspresi dalam Persamaan 4.10 diplot pada Gambar 4.8, untuk proyektil diluncurkan dari asal, sehingga ri = 0. Posisi akhir partikel dapat dianggap sebagai superposisi posisi awalnya ri, istilah vit, yaitu perpindahan jika tidak ada percepatan, dan istilah ½ gt2 yang timbul dari percepatan karena gravitasi. Dengan kata lain, jika tidak ada percepatan gravitasi, partikel akan terus bergerak sepanjang jalan yang lurus ke arah vi. Oleh karena itu, jarak vertikal ½gt2 yang mana partikel "jatuh" dari lintasan garis lurus adalah jarak yang sama bahwa obyek turun dari yang lain akan jatuh selama selang waktu yang sama.


Pada Bagian 4.2, kita menyatakan bahwa gerak dua dimensi dengan percepatan konstan dapat dianalisis sebagai kombinasi dari dua gerakan independen pada arah x dan y, dengan percepatan ax dan ay. Gerak peluru juga bisa ditangani dengan cara ini, dengan percepatan nol dalam arah x dan percepatan konstan dalam arah y, ay =-g. Oleh karena itu, ketika menganalisis gerak peluru, model itu menjadi superposisi dari dua gerakan: (1) gerak partikel di bawah kelajuan konstan dalam arah horisontal dan (2) gerak partikel di bawah percepatan konstan (terjun bebas) dalam arah vertikal . Komponen horizontal dan vertikal dari gerak sebuah proyektil yang benar-benar independen satu sama lain dan dapat ditangani secara terpisah, dengan waktu t sebagai variabel umum untuk kedua komponen.

Rentang horisontal dan Ketinggian Maksimum sebuah Proyektil
Mari kita asumsikan proyektil diluncurkan dari asal di ti = 0 dengan komponen vyi positif seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.9 dan kembali ke level horisontal yang sama. Ini adalah situasi yang biasa dalam olahraga, base ball, sepak bola, dan bola golf sering mendarat pada tingkat yang sama dari mana mereka diluncurkan.