Chapter 4 Gerak Dalam Dua Dimensi (Part 2)



4.4 Analisis Model: Partikel dalam Gerak Melingkar Beratutan

Gambar 4.15a menunjukkan mobil bergerak dalam lintasan melingkar, kita menggambarkan gerak ini dengan menyebutnya gerakan melingkar. Jika mobil bergerak di jalan ini dengan kecepatan konstan v, kita menyebutnya gerak melingkar beraturan. Karena terjadi begitu sering, jenis gerak diakui sebagai model analisis yang disebut partikel dalam gerak melingkar beraturan. Kita membahas model ini dalam bagian ini.

Hal ini sering mengejutkan bagi siswa untuk menemukan bahwa meskipun sebuah benda bergerak pada kecepatan konstan di jalan melingkar, masih memiliki percepatan. Untuk melihat mengapa, mempertimbangkan definisi persamaan untuk percepatan, a = dv/dt (Persamaan 4.5). Perhatikan bahwa percepatan tergantung pada perubahan kelajuan. Karena kelajuan adalah besaran vektor, percepatan dapat terjadi dalam dua cara seperti yang disebutkan dalam bagian 4.1: dengan perubahan besarnya kelajuan dan dengan perubahan arah kelajuan. Situasi terakhir terjadi untuk obyek bergerak dengan kelajuan konstan pada lintasan melingkar. Konstanta-besarnya vektor kelajuan selalu bersinggungan dengan jalur objek dan tegak lurus terhadap jari-jari lintasan melingkar.

Kita sekarang menunjukkan bahwa vektor percepatan gerak melingkar seragam selalu tegak lurus ke lintasan dan selalu menunjuk ke arah pusat lingkaran. Jika itu tidak benar, akan ada komponen paralel percepatan ke lintasan dan karena itu sejajar dengan vektor kelajuan. Seperti komponen percepatan akan menyebabkan perubahan dalam kecepatan partikel di sepanjang lintasan. Situasi ini, bagaimanapun, adalah tidak konsisten dengan setup kita dari situasi: partikel bergerak dengan kecepatan konstan di sepanjang lintasan. Oleh karena itu, untuk gerak melingkar seragam, vektor percepatan hanya dapat memiliki komponen tegak lurus ke lintasan, yang menuju pusat lingkaran.

Mari sekarang kita temukan besarnya percepatan partikel. Pertimbangkan diagram posisi dan vektor kelajuan pada Gambar 4.15b. Angka tersebut juga menunjukkan vektor yang mewakili perubahan posisi Δr untuk interval waktu yang sembarang. Partikel mengikuti jalur melingkar dengan jari-jari r, bagian yang ditunjukkan oleh kurva putus-putus. Partikel di A saat ti, dan kelajuannya pada saat itu adalah vi, sedangkan di B pada beberapa waktu tf kemudian, dan kecepatannya pada saat itu adalah vf. Mari juga kita menganggap vi dan vf hanya berbeda dalam arah, besarannya adalah sama (yaitu, vi = vf = v karena gerak melingkar seragam).


Pada Gambar 4.15c, vektor kelajuan pada Gambar 4.15b telah digambar ulang ekor ke ekor. Vektor Δv menghubungkan ujung vektor, mewakili penjumlahan vektor vf = vi + Δv. Dalam kedua gambar 4.15b dan 4.15c, kita dapat mengidentifikasi segitiga yang membantu kita menganalisa gerak. Sudut Δθ antara dua vektor posisi pada Gambar 4.15b adalah sama dengan sudut antara vektor kelajuan pada Gambar 4.15c karena vektor kelajuan v selalu tegak lurus terhadap vektor posisi r. Oleh karena itu, dua segitiga yang sebangun. (Dua segitiga yang sebangun jika sudut antara dua belah pihak adalah sama untuk kedua segitiga dan jika rasio panjang sisi ini sama.) Kita sekarang dapat menulis hubungan antara panjang sisi untuk dua segitiga di gambar 4.15b dan 4.15c:

 
di mana v = vi = vf dan r = ri = rf. Persamaan ini dapat diselesaikan untuk |Δv|, dan ekspresi yang diperoleh dapat disubstitusikan ke Persamaan 4.4, aavg = Δv/∆t, untuk memberikan besarnya percepatan rata-rata selama interval waktu untuk partikel bergerak dari A ke B:
 
 
Sekarang bayangkan bahwa poin A dan B pada Gambar 4.15b menjadi sangat dekat bersama-sama. Seperti A dan B saling mendekati, ∆t mendekati nol, |Δr| mendekati jarak yang ditempuh oleh partikel di sepanjang jalan melingkar, dan rasio |Δr|/∆t mendekati kecepatan v. Selain itu, percepatan rata-rata menjadi percepatan sesaat pada titik A. Oleh karena itu, dalam batas ∆t → 0, besarnya percepatan adalah:
                                          (4.14)
Percepatan alam ini disebut percepatan sentripetal (sentripetal berarti menuju pusat). Subscript pada simbol percepatan mengingatkan kita bahwa itu percepatan sentripetal.
Dalam banyak situasi, akan lebih mudah untuk menggambarkan gerak partikel yang bergerak dengan kecepatan konstan dalam lingkaran berjari-jari r dalam bentuk periode T, yang didefinisikan sebagai interval waktu yang diperlukan untuk satu putaran penuh partikel. Dalam interval waktu T, partikel melintasi sebuah jarak 2πr, yang sama dengan keliling lintasan melingkar partikel. Oleh karena itu, karena kecepatan adalah sama dengan lingkar jalan melingkar dibagi dengan periode, atau v = 2πr/T, berikut bahwa:
 
                                                       (4.15)
Persamaan 4.14 dan 4.15 harus digunakan ketika model partikel dalam gerak melingkar seragam diidentifikasi sesuai untuk situasi tertentu.

4.5 Percepatan Tangensial dan Radial


Mari kita perthatikan gerak yang lebih umum daripada yang disajikan dalam Bagian 4.4. Sebuah partikel bergerak ke kanan sepanjang jalur melengkung, dan kelajuannya berubah baik dalam arah dan besarnya seperti yang dijelaskan dalam Gambar 4.16. Dalam situasi ini, vektor kelajuan selalu bersinggungan dengan lintasan, percepatan vektor a, bagaimanapun, di beberapa sudut ke lintasan. Pada masing-masing titik A, B, dan C di Gambar 4.16, lingkaran biru putus-putus mewakili kelengkungan jalan yang sebenarnya pada setiap titik. Jari-jari masing-masing lingkaran sama dengan jari-jari jalan yang lengkung pada setiap titik.

Sebagai partikel bergerak sepanjang jalur melengkung di Gambar 4.16, arah dari total vektor percepatan berubah dari titik ke titik. Pada saat tertentu, vektor ini dapat diselesaikan menjadi dua komponen berdasarkan pada titik asal di pusat lingkaran putus-putus yang sesuai dengan instan: a komponen radial ar sepanjang jari-jari lingkaran dan a komponen tangensial at tegak lurus dengan jari-jari ini. Total vektor percepatan dapat ditulis sebagai jumlah vektor dari vektor komponen:
a = ar + at                      (
Total kelajuan)                      (4.16)

Komponen percepatan tangensial menyebabkan perubahan dalam kecepatan v partikel. Komponen ini sejajar dengan kelajuan sesaat, dan besarnya diberikan oleh:
             (kelajuan tangensial)                         (4.17)

Komponen percepatan radial timbul dari perubahan arah dari vektor kelajuan dan diberikan oleh:
      (kelajuan radial)                            (4.18)

dimana r adalah jari-jari kelengkungan jalan di titik yang dimaksud. Kami menyadari besarnya komponen radial dari percepatan sebagai percepatan sentripetal dibahas dalam Bagian 4.4. Tanda negatif dalam Persamaan 4.18 menunjukkan bahwa arah percepatan sentripetal adalah menuju pusat lingkaran mewakili jari-jari kelengkungan. Arahnya  berlawanan dari vektor satuan radial
r, yang selalu menunjuk jauh dari pusat lingkaran.

Karena ar dan at pada adalah komponen vektor tegak lurus a, itu berarti bahwa besarnya adalah
. Pada kecepatan tertentu, ar besar ketika jari-jari kelengkungan kecil (pada titik A dan B di Gambar. 4.16) dan kecil ketika r besar (seperti pada titik C). Arah at adalah baik dalam arah yang sama dengan v (jika v meningkat) atau v berlawanan (jika v menurun, pada titik B).

Dalam gerak melingkar beraturan, dimana v adalah konstan, at= 0 dan percepatan selalu radial seperti yang dijelaskan dalam Bagian 4.4. Dengan kata lain, gerak melingkar beraturan merupakan kasus khusus dari gerak sepanjang jalur melengkung umum. Selanjutnya, jika arah v tidak berubah, tidak ada percepatan radial dan gerak adalah dalam satu dimensi (dalam hal ini, ar = 0, tetapi atmungkin nol).

4.6 Kelajuan Relatif dan Percepatan Relatif


Pada bagian ini, kita menggambarkan bagaimana pengamatan yang dilakukan oleh pengamat yang berbeda dalam kerangka acuan yang terkait satu sama lain. Sebuah kerangka acuan dapat dijelaskan oleh sistem koordinat Cartesian yang merupakan pengamat yang diam terhadap titik asal.


Mari kita konsep situasi sampel di mana akan ada pengamatan yang berbeda untuk pengamat yang berbeda. Pertimbangkan dua pengamat A dan B sepanjang garis bilangan pada Gambar 4.18a. Pengamat A terletak di titik asal xA dalam sumbu satu dimensi, sedangkan pengamat B berada pada posisi xA = -5. Kami menunjukkan variabel posisi sebagai xA karena pengamat A di asal sumbu ini. Kedua pengamat mengukur posisi titik P, yang terletak di xA = +5. Misalkan pengamat B memutuskan bahwa ia terletak di titik asal sumbu xB seperti pada Gambar 4.18b. Perhatikan bahwa dua pengamat setuju pada nilai posisi titik P. Pengamat Sebuah titik melihat P terletak pada posisi dengan nilai +5, sedangkan pengamat B klaim itu terletak pada posisi dengan nilai +10. Kedua pengamat benar, meskipun mereka membuat
pengukuran yang berbeda. Pengukuran mereka berbeda karena mereka membuat pengukuran dari kerangka acuan yang berbeda.

Bayangkan sekarang bahwa pengamat B pada Gambar 4.18b bergerak ke kanan sepanjang sumbu xB. Sekarang dua pengukuran bahkan lebih berbeda. Observer Sebuah titik mengklaim P tetap diam pada posisi dengan nilai +5, sedangkan pengamat B mengklaim posisi P terus berubah terhadap waktu, bahkan melewatinya dan bergerak di belakangnya! Sekali lagi, kedua pengamat benar, dengan perbedaan dalam pengukuran mereka timbul akibat kerangka acuan mereka yang berbeda.


Kami mengeksplorasi fenomena ini lebih lanjut dengan mempertimbangkan dua pengamat melihat seseorang yang berjalan di jalan lingkar bergerak di bandara di Gambar 4.19. Wanita berdiri di lingkar bergerak melihat orang bergerak dengan kecepatan berjalan normal. Wanita mengamati dari lantai stasioner melihat orang bergerak dengan kecepatan yang lebih tinggi karena kecepatan jalan lingkar dikombinasikan dengan kecepatan berjalan. Kedua pengamat melihat orang yang sama dan tiba di nilai yang berbeda untuk kecepatan. Keduanya benar, perbedaan hasil pengukuran mereka dari kecepatan relatif dari kerangka acuan mereka yang berbeda.


Dalam situasi yang lebih umum, mempertimbangkan partikel yang terletak di titik P pada Gambar 4.20. Bayangkan bahwa gerakan partikel ini sedang digambarkan oleh dua pengamat, pengamat A dalam kerangka acuan SA tetap relatif terhadap Bumi dan pengamat kedua B dalam kerangka acuan SB bergerak ke kanan relatif terhadap SA (dan karena itu relatif terhadap Bumi ) dengan kecepatan konstan VBA. Dalam diskusi ini kecepatan relatif, kita menggunakan notasi ganda subscript, subskrip pertama mewakili apa yang sedang diamati, dan yang kedua merupakan yang melakukan pengamatan tersebut. Oleh karena itu, notasi VBA berarti kecepatan pengamat B (dan bingkai SB terlampir) yang diukur dengan pengamat A. Dengan notasi ini, pengamat B mengukur A akan bergerak ke kiri dengan kecepatan VAB =-VBA. Untuk tujuan diskusi ini, mari kita tempatkan setiap pengamat pada tempatnya masing-masing.

Kita menentukan waktu t =0 sebagai instan di mana asal kedua kerangka acuan dua bertepatan dalam ruang. Oleh karena itu, pada waktu t, asal kerangka acuan akan dipisahkan oleh jarak vBAt. Kita tandai posisi P dari partikel relatif terhadap pengamat A dengan vektor posisi rPA dan relatif terhadap pengamat B dengan vektor posisi rPB, keduanya pada waktu t. Dari Gambar 4.20, kita melihat bahwa vektor rPA dan rPB terkait satu sama lain melalui ekspresi:
rPA = rPB + vBA.t                                           (4.19)
Dengan menurunkan Persamaan 4.19 terhadap waktu, ingat bahwa vBA adalah konstan, kita memperoleh:
   Transformasi kecepatan Galilea       (4.20)

Di mana uPA adalah kelajuan partikel pada P diukur dengan pengamat A dan uPB adalah kelajuannya diukur dengan B. (Kita menggunakan simbol u untuk kelajuan partikel dari v, yang telah kita digunakan untuk kelajuan relatif  dua kerangka acuan.) Persamaan 4.19 dan 4.20 dikenal sebagai persamaan transformasi Galilean. Mereka berhubungan posisi dan kelajuan dari sebuah partikel yang diukur oleh para pengamat dalam gerak relatif. Perhatikan pola subscript dalam Persamaan 4.20. Ketika kelajuan relatif ditambahkan, subscript dalam (B) adalah sama dan yang luar (P, A) sesuai dengan subscript pada kecepatan di sebelah kiri dari persamaan.

Meskipun para pengamat dalam dua kerangka mengukur kelajuan yang berbeda untuk partikel, mereka mengukur percepatan yang sama ketika vBA adalah konstan. Kita dapat memverifikasi bahwa dengan mengambil turunan waktu Persamaan 4.20:

 
Karena vBA adalah konstan, dvBA /dt = 0. Oleh karena itu, kita menyimpulkan bahwa aPA = aPB karena aPA= duPA/dt dan aPB = duPB/dt. Artinya, percepatan partikel yang diukur oleh pengamat dalam satu kerangka acuan adalah sama seperti yang diukur oleh pengamat lain bergerak dengan kelajuan konstan relatif terhadap kerangka pertama (Serway, 2010:86-91).

No comments for "Chapter 4 Gerak Dalam Dua Dimensi (Part 2)"