Analisis Model: Partikel dengan Percepatan Konstan

2.6 Analisis Model: Partikel dengan Percepatan Konstan

Jika percepatan partikel bervariasi pada waktunya, gerakannya dapat menjadi kompleks dan sulit untuk dianalisa. Suatu jenis yang sangat umum dan sederhana dari gerak satu dimensi, bagaimanapun, bahwa percepatan konstan. Dalam kasus seperti itu, percepatan rata-rata a_x,avg setiap interval waktu secara numerik sama dengan percepatan sesaat a_x pada setiap saat dalam interval, dan perubahan kelajuan pada tingkat yang sama seluruh gerak. Situasi ini terjadi cukup sering bahwa kita mengidentifikasinya sebagai model analisis: partikel dengan percepatan konstan. Dalam diskusi yang berikut, kita menghasilkan beberapa persamaan yang menggambarkan gerak partikel untuk model ini.

Jika kita mengganti a_x,avg oleh a_x dalam Persamaan 2.9 dan mengambil t_i = 0 dan t_f menjadi waktu t kemudian, kita temukan bahwa:
atau
v_xf = v_xi + a_xt       (untuk a_x konstan)          (2.13)

Ini ekspresi yang kuat memungkinkan kita untuk menentukan kelajuan sebuah benda setiap saat t jika kita tahu kelajuan awal v_xi benda dan  percepatan a_x (konstan). Sebuah grafik kelajuan-waktu untuk gerak dengan percepatan konstan ditunjukkan pada Gambar 2.11b. Grafiknya merupakan garis lurus, kemiringan yang merupakan percepatan a_x, kemiringan (konstan) konsisten pada a_x = dv_x/dt menjadi konstan. Perhatikan bahwa kemiringan positif, yang menunjukkan percepatan positif. Jika akselerasi yang negatif, kemiringan garis pada Gambar 2.11b akan negatif. Ketika percepatan konstan, grafik percepatan terhadap waktu (Gambar 2.11c) adalah garis lurus yang memiliki kemiringan nol:

Karena kelajuan pada percepatan konstan bervariasi secara linear dalam waktu sesuai dengan Persamaan 2.13, kita dapat mengekspresikan kelajuan rata-rata dalam setiap interval waktu sebagai mean aritmetik dari v_xi keclajuan awal dan kelajuan akhir v_xf:
(a_x Konstan)             (2.14)
Perhatikan bahwa ungkapan ini untuk kelajuan rata-rata hanya berlaku dalam situasi di mana percepatan konstan.

Kita sekarang dapat menggunakan Persamaan 2.1, 2.2, dan 2.14 untuk memperoleh posisi obyek sebagai fungsi waktu. Mengingat bahwa ∆x dalam Persamaan 2.2 merupakan x_f - x_i dan mengingat bahwa ∆t = t_f - t_i = t - 0 = t, kita temukan bahwa:

x_f - x_i = v_x,avgt = ½ (v_xi + v_xf)t

( a_x konstan)                 (2.15)

 
Persamaan ini memberikan posisi akhir dari partikel pada waktu t dalam hal kelajuan awal dan akhir. Kita dapat memperoleh ungkapan lain yang berguna untuk posisi partikel dengan
percepatan konstan dengan menggantikan Persamaan 2.13 menjadi Persamaan 2.15:

     (a_x konstan)                             (2.16)
Persamaan ini memberikan posisi akhir dari partikel pada waktu t dalam hal posisi awal, kelajuan awal, dan percepatan konstan.

Grafik posisi-waktu untuk gerak percepatan konstan (positif) ditunjukkan pada Gambar 2.11a diperoleh dari Persamaan 2.16. Perhatikan bahwa kurva berbentuk parabola. Kemiringan garis singgung kurva ini pada t = 0 sama dengan kelajuan awal v_xi, dan kemiringan garis singgung di setiap waktu t sama dengan kelajuan v_xf pada saat itu.
Akhirnya, kita dapat memperoleh pernyataan untuk kelajuan akhir yang tidak mengandung waktu sebagai variabel dengan menggantikan nilai t dari Persamaan 2.13 menjadi Persamaan 2.15:

  (untuk a_x konstan)                      (2.17)

 
Persamaan ini memberikan kelajuan akhir dalam hal kelajuan awal, percepatan konstan, dan posisi partikel.

Untuk gerakan pada percepatan nol, kita melihat dari Persamaan 2.13 dan 2.16 bahwa:
ketika a_x =0
Artinya, ketika percepatan partikel adalah nol, kelajuannya adalah konstan dan posisinya berubah linear dengan waktu. Dalam bentuk pemodelan, ketika percepatan partikel adalah nol, partikel dalam model percepatan konstan mengurangi ke partikel dalam model kelajuan konstan (Bagian 2.3).

Persamaan 2.13 sampai 2.17 adalah persamaan kinematik yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah yang melibatkan partikel dengan percepatan konstan dalam satu dimensi. Keempat persamaan kinematik yang paling sering digunakan tercantum untuk kenyamanan pada Tabel 2.2. Pilihan dari persamaan yang Anda gunakan dalam situasi tertentu tergantung pada apa yang Anda tahu sebelumnya. Kadang-kadang perlu untuk menggunakan dua persamaan ini untuk memecahkan dua variabel. Anda harus mengakui bahwa besaran yang bervariasi selama gerakan adalah posisi x_f, kelajuan v_xf, dan waktu t. Anda akan mendapatkan banyak pengalaman dalam penggunaan persamaan ini dengan memecahkan sejumlah latihan dan soal. Sering kali Anda akan menemukan bahwa lebih dari satu metode dapat digunakan untuk mendapatkan solusi. Ingat bahwa persamaan kinematika tidak dapat digunakan dalam situasi di mana percepatan bervariasi dengan waktu. Mereka dapat digunakan hanya ketika percepatan konstan.

2.7 Benda Jatuh Bebas

Hal ini juga diketahui bahwa, dengan tidak adanya hambatan udara, semua benda jatuh mendekati permukaan bumi, jatuh menuju Bumi dengan percepatan konstan yang sama di bawah pengaruh gravitasi bumi. Itu tidak sampai sekitar 1600 bahwa kesimpulan ini diterima. Sebelum waktu itu, ajaran filsuf Yunani Aristoteles (384-322SM) telah menyatakan bahwa benda berat jatuh lebih cepat dari benda yang ringan. Orang Italia Galileo Galilei (1564-1642) asal ide-ide kita saat ini mengenai benda yang jatuh. Ada sebuah legenda bahwa ia menunjukkan perilaku benda yang jatuh dengan mengamati dua massa yang berbeda secara bersamaan turun dari Menara Miring Pisa menyentuh tanah kira-kira pada waktu yang sama. Meskipun ada beberapa keraguan bahwa ia melakukan percobaan tertentu, itu juga ditetapkan bahwa Galileo melakukan banyak percobaan pada obyek yang bergerak pada bidang miring. Dalam eksperimennya, dia menggelindingkan bola sedikit miring dan mengukur jaraknya tercakup dalam interval waktu yang berurutan. Tujuan dari bidang miring adalah untuk mengurangi percepatan, yang memungkinkan baginya untuk membuat pengukuran akurat dari interval waktu. Dengan secara bertahap meningkatkan kemiringan lereng, ia akhirnya bisa menarik kesimpulan tentang obyek jatuh bebas karena bola jatuh bebas adalah setara dengan bola bergerak menuruni lereng vertikal.

Anda mungkin ingin mencoba percobaan berikut. Bersamaan menjatuhkan koin dan gumpalan-up kertas dari ketinggian yang sama. Jika efek hambatan udara dapat diabaikan, keduanya akan memiliki gerakan yang sama dan akan memukul lantai pada waktu yang sama. Dalam kasus ideal, di mana hambatan udara tidak ada, gerak tersebut disebut sebagai gerak jatuh bebas. Jika percobaan yang sama dapat dilakukan dalam ruang hampa, di mana hambatan udara benar-benar diabaikan, kertas dan koin akan jatuh dengan percepatan yang sama bahkan ketika kertas tidak kusut. Pada tanggal 2 Agustus 1971, astronot David Scott melakukan demonstrasi seperti di Bulan. Dia secara bersamaan menjatuhkan sebuah palu dan bulu, dan dua benda jatuh bersama-sama ke permukaan bulan. Demonstrasi sederhana ini pasti akan membuat Galileo senang!

Ketika kita menggunakan ungkapan benda jatuh bebas, kita tidak perlu merujuk ke objek turun dari yang lain. Sebuah benda jatuh bebas adalah benda bergerak bebas di bawah pengaruh gravitasi saja, terlepas dari gerak awal. Benda dilempar ke atas atau ke bawah dan benda dilepaskan dari keadaan berhenti, semua jatuh bebas setelah benda dilepaskan. Setiap objek jatuh bebas mengalami percepatan diarahkan ke bawah, terlepas dari gerak awal.
Kita akan menunjukkan besarnya percepatan jatuh bebas oleh simbol g. Nilai g menurun dengan meningkatnya ketinggian di atas permukaan bumi. Selanjutnya, sedikit variasi dalam g terjadi dengan perubahan lintang. Di permukaan bumi, nilai g adalah sekitar 9,80 m/s². Kecuali dinyatakan lain, kita akan menggunakan nilai ini untuk g saat melakukan perhitungan. Untuk membuat perkiraan cepat, gunakan g = 10 m/s².

Jika kita mengabaikan hambatan udara dan menganggap percepatan jatuh bebas tidak berbeda dengan ketinggian jarak vertikal, gerak benda jatuh bebas bergerak vertikal setara dengan gerak partikel dengan percepatan konstan dalam satu dimensi. Oleh karena itu, persamaan dikembangkan di Bagian 2.6 untuk partikel dalam model percepatan konstan dapat diterapkan. Modifikasi hanya untuk objek jatuh bebas bahwa kita perlu membuat dalam persamaan ini untuk dicatat bahwa gerak dalam arah vertikal (arah y) daripada dalam arah horisontal (x) dan percepatan ke bawah dan memiliki nilai 9,80 m/s². Oleh karena itu, kita memilih a_y = -g = -9,80 m/s₂, di mana tanda negatif berarti bahwa percepatan benda jatuh bebas adalah ke bawah. Dalam Bab 13, kita akan mempelajari bagaimana menangani variasi g dengan ketinggian.

2.8 Persamaan Kinematik Berasal dari Kalkulus

Bagian ini mengasumsikan pembaca sudah akrab dengan teknik kalkulus integral. Jika Anda belum mempelajari integrasi dalam kalkulus saja, Anda harus melewati bagian ini atau menutupinya setelah Anda akrab dengan integrasi.

Kelajuan sebuah partikel yang bergerak dalam garis lurus dapat diperoleh jika posisinya sebagai fungsi waktu diketahui. Secara matematis, kelajuan sama dengan turunan dari posisi terhadap waktu. Hal ini juga memungkinkan untuk menemukan posisi partikel jika kelajuannya dikenal sebagai fungsi waktu. Dalam kalkulus, prosedur yang digunakan untuk melakukan tugas ini disebut sebagai integrasi atau mencari antiturunan. Secara grafis, itu adalah setara dengan menemukan daerah di bawah kurva. Misalkan grafik v_x-t untuk sebuah partikel bergerak sepanjang sumbu x seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.15.

Mari kita bagi interval waktu t_f - t_i menjadi beberapa interval kecil, masing-masing durasi ∆t_n. Dari definisi kelajuan rata-rata, kita melihat bahwa perpindahan partikel selama interval kecil, seperti yang diarsir pada Gambar 2.15, diberikan oleh ∆x_n = v_xn,avg ∆t_n, di mana v_xn,avg adalah kelajuan rata-rata dalam interval tersebut . Oleh karena itu, perpindahan selama selang kecil ini hanyalah luas persegi panjang yang diarsir pada Gambar 2.15. Perpindahan total untuk interval t_f - t_i jumlah bidang semua persegi panjang dari t_i ke t_f:

dimana simbol ∑ (huruf Yunani sigma) menandakan jumlah atas semua persyaratan, yaitu, lebih dari semua nilai n. Sekarang, karena interval yang dibuat lebih kecil dan lebih kecil, jumlah istilah dalam meningkatkan jumlah dan mendekati jumlah suatu nilai sama dengan area di bawah kurva dalam grafik kelajuan-waktu. Oleh karena itu, dalam batas n →∞, atau ∆t_n → 0, perpindahannya adalah:
                                              (2.18)
Perhatikan bahwa kita telah menggantikan kelajuan rata-rata v_xn,avg dengan kelajuan sesaat v_xn dalam penjumlahan karena kelajuan bertahap v_xn,avg mendekati fungsi v_xn kontinu sebagai interval waktu menyusut menjadi nol. Seperti yang dapat Anda lihat dari Gambar 2.15, pendekatan ini berlaku dalam batas interval sangat kecil. Oleh karena itu, jika kita tahu grafik v_x-t untuk gerak sepanjang garis lurus, kita dapat memperoleh perpindahan selama interval waktu dengan mengukur luas area di bawah kurva yang sesuai dengan interval waktu.
Batas jumlah ditunjukkan dalam Persamaan 2.18 disebut integral tertentu dan ditulis:
               (2.19)        ← integral tertentu

di mana v_x (t) menunjukkan kelajuan setiap saat t. Jika bentuk fungsional eksplisit v_x (t) diketahui dan batas-batas yang diberikan, integral dapat dievaluasi. Terkadang grafik v_x-t untuk sebuah partikel yang bergerak memiliki bentuk yang lebih sederhana dari yang ditunjukkan pada Gambar 2.15. Misalnya, sebuah partikel bergerak pada kelajuan konstan v_xi. Dalam hal ini, grafik v-t adalah garis horizontal seperti pada Gambar 2.16 dan perpindahan dari partikel selama selang waktu ∆t hanyalah luas persegi panjang berbayang:
∆x = v_xi ∆t (ketika v_x = v_xi = konstan)

 

 

Persamaan kinematik

Kita sekarang menggunakan definisi persamaan percepatan dan kecepatan untuk mendapatkan dua persamaan kinematik, Persamaan 2.13 dan 2.16.

Definisi persamaan untuk percepatan (Persamaan 2.10):

dapat ditulis sebagai d_vx =a_x dt,  atau dalam hal integral (atau antiturunan), sebagai

Untuk kasus khusus di mana percepatan konstan, a_x dapat dihapus dari integral untuk memberikan:

          (2.20)
yang merupakan Persamaan 2.13. Sekarang mari kita perhatikan persamaan definisi untuk kelajuan (Persamaan 2.5):

Kita dapat menulis persamaan ini sebagai dx = v_xdt atau dalam bentuk integral sebagai:

Karena v_x = v_xf = v_xi + a_xt, ungkapan ini menjadi:

yang merupakan Persamaan 2.16.

Selain apa yang Anda harapkan untuk pelajari tentang konsep fisika, keterampilan yang sangat berharga yang harus Anda harapkan untuk diambil dari kursus fisika Anda adalah kemampuan untuk memecahkan masalah rumit. Cara fisikawan mendekati situasi yang kompleks dan istirahat mereka menjadi potongan-potongan dikelola sangat berguna. Berikut ini adalah strategi pemecahan masalah umum untuk memandu Anda melalui langkah-langkah. Untuk membantu Anda mengingat langkah-langkah strategi, yaitu Konseptualisasi, kategorisasi, Analisa, dan Finalisasi.(Serway,2010:34-42).