Analisis Model: Partikel dengan Percepatan Konstan
2.6 Analisis Model: Partikel dengan Percepatan Konstan
Jika percepatan partikel bervariasi pada waktunya, gerakannya dapat menjadi kompleks dan sulit untuk dianalisa. Suatu jenis yang sangat umum dan sederhana dari gerak satu dimensi, bagaimanapun, bahwa percepatan konstan. Dalam kasus seperti itu, percepatan rata-rata ax,avg setiap interval waktu secara numerik sama dengan percepatan sesaat ax pada setiap saat dalam interval, dan perubahan kelajuan pada tingkat yang sama seluruh gerak. Situasi ini terjadi cukup sering bahwa kita mengidentifikasinya sebagai model analisis: partikel dengan percepatan konstan. Dalam diskusi yang berikut, kita menghasilkan beberapa persamaan yang menggambarkan gerak partikel untuk model ini.
Jika kita mengganti ax,avg oleh ax dalam
Persamaan 2.9 dan mengambil ti = 0 dan tf menjadi waktu t
kemudian, kita temukan bahwa:
atau
vxf = vxi + axt (untuk ax konstan) (2.13)
vxf = vxi + axt (untuk ax konstan) (2.13)
Ini ekspresi yang kuat memungkinkan kita untuk menentukan kelajuan sebuah benda setiap saat t jika kita tahu kelajuan awal vxi benda dan percepatan ax (konstan). Sebuah grafik kelajuan-waktu untuk gerak dengan percepatan konstan ditunjukkan pada Gambar 2.11b. Grafiknya merupakan garis lurus, kemiringan yang merupakan percepatan ax, kemiringan (konstan) konsisten pada ax = dvx/dt menjadi konstan. Perhatikan bahwa kemiringan positif, yang menunjukkan percepatan positif. Jika akselerasi yang negatif, kemiringan garis pada Gambar 2.11b akan negatif. Ketika percepatan konstan, grafik percepatan terhadap waktu (Gambar 2.11c) adalah garis lurus yang memiliki kemiringan nol:
Karena kelajuan pada percepatan konstan bervariasi secara linear
dalam waktu sesuai dengan Persamaan 2.13, kita dapat mengekspresikan kelajuan
rata-rata dalam setiap interval waktu sebagai mean aritmetik dari vxi
keclajuan awal dan kelajuan akhir vxf:
(ax
Konstan) (2.14)
Perhatikan bahwa ungkapan ini untuk kelajuan rata-rata hanya berlaku dalam situasi di mana percepatan konstan.
Kita sekarang dapat menggunakan Persamaan 2.1, 2.2, dan 2.14 untuk memperoleh posisi obyek sebagai fungsi waktu. Mengingat bahwa ∆x dalam Persamaan 2.2 merupakan xf - xi dan mengingat bahwa ∆t = tf - ti = t - 0 = t, kita temukan bahwa:
Perhatikan bahwa ungkapan ini untuk kelajuan rata-rata hanya berlaku dalam situasi di mana percepatan konstan.
Kita sekarang dapat menggunakan Persamaan 2.1, 2.2, dan 2.14 untuk memperoleh posisi obyek sebagai fungsi waktu. Mengingat bahwa ∆x dalam Persamaan 2.2 merupakan xf - xi dan mengingat bahwa ∆t = tf - ti = t - 0 = t, kita temukan bahwa:
xf - xi = vx,avgt = ½ (vxi
+ vxf)t
Persamaan ini memberikan posisi akhir dari partikel pada waktu t dalam hal kelajuan awal dan akhir. Kita dapat memperoleh ungkapan lain yang berguna untuk posisi partikel dengan
percepatan konstan dengan menggantikan Persamaan 2.13 menjadi Persamaan 2.15:
Persamaan ini memberikan posisi akhir dari partikel pada waktu t dalam hal posisi awal, kelajuan awal, dan percepatan konstan.
Grafik posisi-waktu untuk gerak percepatan konstan (positif)
ditunjukkan pada Gambar 2.11a diperoleh dari Persamaan 2.16. Perhatikan bahwa
kurva berbentuk parabola. Kemiringan garis singgung kurva ini pada t = 0 sama
dengan kelajuan awal vxi, dan kemiringan garis singgung di setiap
waktu t sama dengan kelajuan vxf pada saat itu.
Akhirnya, kita dapat memperoleh pernyataan untuk kelajuan akhir yang tidak mengandung waktu sebagai variabel dengan menggantikan nilai t dari Persamaan 2.13 menjadi Persamaan 2.15:
Akhirnya, kita dapat memperoleh pernyataan untuk kelajuan akhir yang tidak mengandung waktu sebagai variabel dengan menggantikan nilai t dari Persamaan 2.13 menjadi Persamaan 2.15:
Persamaan ini memberikan kelajuan akhir dalam hal kelajuan awal, percepatan konstan, dan posisi partikel.
Untuk gerakan pada percepatan nol, kita melihat dari Persamaan 2.13
dan 2.16 bahwa:
ketika ax =0
Artinya, ketika percepatan partikel adalah nol, kelajuannya adalah konstan dan posisinya berubah linear dengan waktu. Dalam bentuk pemodelan, ketika percepatan partikel adalah nol, partikel dalam model percepatan konstan mengurangi ke partikel dalam model kelajuan konstan (Bagian 2.3).
Persamaan 2.13 sampai 2.17 adalah persamaan kinematik yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah yang melibatkan partikel dengan percepatan konstan dalam satu dimensi. Keempat persamaan kinematik yang paling sering digunakan tercantum untuk kenyamanan pada Tabel 2.2. Pilihan dari persamaan yang Anda gunakan dalam situasi tertentu tergantung pada apa yang Anda tahu sebelumnya. Kadang-kadang perlu untuk menggunakan dua persamaan ini untuk memecahkan dua variabel. Anda harus mengakui bahwa besaran yang bervariasi selama gerakan adalah posisi xf, kelajuan vxf, dan waktu t. Anda akan mendapatkan banyak pengalaman dalam penggunaan persamaan ini dengan memecahkan sejumlah latihan dan soal. Sering kali Anda akan menemukan bahwa lebih dari satu metode dapat digunakan untuk mendapatkan solusi. Ingat bahwa persamaan kinematika tidak dapat digunakan dalam situasi di mana percepatan bervariasi dengan waktu. Mereka dapat digunakan hanya ketika percepatan konstan.
Artinya, ketika percepatan partikel adalah nol, kelajuannya adalah konstan dan posisinya berubah linear dengan waktu. Dalam bentuk pemodelan, ketika percepatan partikel adalah nol, partikel dalam model percepatan konstan mengurangi ke partikel dalam model kelajuan konstan (Bagian 2.3).
Persamaan 2.13 sampai 2.17 adalah persamaan kinematik yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah yang melibatkan partikel dengan percepatan konstan dalam satu dimensi. Keempat persamaan kinematik yang paling sering digunakan tercantum untuk kenyamanan pada Tabel 2.2. Pilihan dari persamaan yang Anda gunakan dalam situasi tertentu tergantung pada apa yang Anda tahu sebelumnya. Kadang-kadang perlu untuk menggunakan dua persamaan ini untuk memecahkan dua variabel. Anda harus mengakui bahwa besaran yang bervariasi selama gerakan adalah posisi xf, kelajuan vxf, dan waktu t. Anda akan mendapatkan banyak pengalaman dalam penggunaan persamaan ini dengan memecahkan sejumlah latihan dan soal. Sering kali Anda akan menemukan bahwa lebih dari satu metode dapat digunakan untuk mendapatkan solusi. Ingat bahwa persamaan kinematika tidak dapat digunakan dalam situasi di mana percepatan bervariasi dengan waktu. Mereka dapat digunakan hanya ketika percepatan konstan.
2.7 Benda Jatuh Bebas
Hal ini juga diketahui bahwa, dengan tidak adanya hambatan udara, semua benda jatuh mendekati permukaan bumi, jatuh menuju Bumi dengan percepatan konstan yang sama di bawah pengaruh gravitasi bumi. Itu tidak sampai sekitar 1600 bahwa kesimpulan ini diterima. Sebelum waktu itu, ajaran filsuf Yunani Aristoteles (384-322SM) telah menyatakan bahwa benda berat jatuh lebih cepat dari benda yang ringan. Orang Italia Galileo Galilei (1564-1642) asal ide-ide kita saat ini mengenai benda yang jatuh. Ada sebuah legenda bahwa ia menunjukkan perilaku benda yang jatuh dengan mengamati dua massa yang berbeda secara bersamaan turun dari Menara Miring Pisa menyentuh tanah kira-kira pada waktu yang sama. Meskipun ada beberapa keraguan bahwa ia melakukan percobaan tertentu, itu juga ditetapkan bahwa Galileo melakukan banyak percobaan pada obyek yang bergerak pada bidang miring. Dalam eksperimennya, dia menggelindingkan bola sedikit miring dan mengukur jaraknya tercakup dalam interval waktu yang berurutan. Tujuan dari bidang miring adalah untuk mengurangi percepatan, yang memungkinkan baginya untuk membuat pengukuran akurat dari interval waktu. Dengan secara bertahap meningkatkan kemiringan lereng, ia akhirnya bisa menarik kesimpulan tentang obyek jatuh bebas karena bola jatuh bebas adalah setara dengan bola bergerak menuruni lereng vertikal.
Anda mungkin ingin mencoba percobaan berikut. Bersamaan menjatuhkan
koin dan gumpalan-up kertas dari ketinggian yang sama. Jika efek hambatan udara
dapat diabaikan, keduanya akan memiliki gerakan yang sama dan akan memukul
lantai pada waktu yang sama. Dalam kasus ideal, di mana hambatan udara tidak ada,
gerak tersebut disebut sebagai gerak jatuh bebas. Jika percobaan yang sama
dapat dilakukan dalam ruang hampa, di mana hambatan udara benar-benar
diabaikan, kertas dan koin akan jatuh dengan percepatan yang sama bahkan ketika
kertas tidak kusut. Pada tanggal 2 Agustus 1971, astronot David Scott melakukan
demonstrasi seperti di Bulan. Dia secara bersamaan menjatuhkan sebuah palu dan
bulu, dan dua benda jatuh bersama-sama ke permukaan bulan. Demonstrasi
sederhana ini pasti akan membuat Galileo senang!
Ketika kita menggunakan ungkapan benda jatuh bebas, kita tidak perlu merujuk ke objek turun dari yang lain. Sebuah benda jatuh bebas adalah benda bergerak bebas di bawah pengaruh gravitasi saja, terlepas dari gerak awal. Benda dilempar ke atas atau ke bawah dan benda dilepaskan dari keadaan berhenti, semua jatuh bebas setelah benda dilepaskan. Setiap objek jatuh bebas mengalami percepatan diarahkan ke bawah, terlepas dari gerak awal.
Kita akan menunjukkan besarnya percepatan jatuh bebas oleh simbol g. Nilai g menurun dengan meningkatnya ketinggian di atas permukaan bumi. Selanjutnya, sedikit variasi dalam g terjadi dengan perubahan lintang. Di permukaan bumi, nilai g adalah sekitar 9,80 m/s2. Kecuali dinyatakan lain, kita akan menggunakan nilai ini untuk g saat melakukan perhitungan. Untuk membuat perkiraan cepat, gunakan g = 10 m/s2.
Jika kita mengabaikan hambatan udara dan menganggap percepatan
jatuh bebas tidak berbeda dengan ketinggian jarak vertikal, gerak benda jatuh
bebas bergerak vertikal setara dengan gerak partikel dengan percepatan konstan
dalam satu dimensi. Oleh karena itu, persamaan dikembangkan di Bagian 2.6 untuk
partikel dalam model percepatan konstan dapat diterapkan. Modifikasi hanya
untuk objek jatuh bebas bahwa kita perlu membuat dalam persamaan ini untuk
dicatat bahwa gerak dalam arah vertikal (arah y) daripada dalam arah horisontal
(x) dan percepatan ke bawah dan memiliki nilai 9,80 m/s2. Oleh
karena itu, kita memilih ay = -g = -9,80 m/s2, di mana
tanda negatif berarti bahwa percepatan benda jatuh bebas adalah ke bawah. Dalam
Bab 13, kita akan mempelajari bagaimana menangani variasi g dengan ketinggian.
2.8 Persamaan Kinematik Berasal dari Kalkulus
2.8 Persamaan Kinematik Berasal dari Kalkulus
Bagian ini mengasumsikan pembaca sudah akrab dengan teknik kalkulus
integral. Jika Anda belum mempelajari integrasi dalam kalkulus saja, Anda harus
melewati bagian ini atau menutupinya setelah Anda akrab dengan integrasi.
Kelajuan sebuah partikel yang bergerak dalam garis lurus dapat
diperoleh jika posisinya sebagai fungsi waktu diketahui. Secara matematis, kelajuan
sama dengan turunan dari posisi terhadap waktu. Hal ini juga memungkinkan untuk
menemukan posisi partikel jika kelajuannya dikenal sebagai fungsi waktu. Dalam
kalkulus, prosedur yang digunakan untuk melakukan tugas ini disebut sebagai
integrasi atau mencari antiturunan. Secara grafis, itu adalah setara dengan
menemukan daerah di bawah kurva. Misalkan grafik vx-t untuk sebuah
partikel bergerak sepanjang sumbu x seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.15.
Mari kita bagi interval waktu tf - ti menjadi
beberapa interval kecil, masing-masing durasi ∆tn. Dari definisi
kelajuan rata-rata, kita melihat bahwa perpindahan partikel selama interval
kecil, seperti yang diarsir pada Gambar 2.15, diberikan oleh ∆xn = vxn,avg
∆tn, di mana vxn,avg adalah kelajuan rata-rata dalam
interval tersebut . Oleh karena itu, perpindahan selama selang kecil ini
hanyalah luas persegi panjang yang diarsir pada Gambar 2.15. Perpindahan total
untuk interval tf - ti jumlah bidang semua persegi
panjang dari ti ke tf:
dimana simbol ∑ (huruf Yunani sigma) menandakan jumlah atas semua
persyaratan, yaitu, lebih dari semua nilai n. Sekarang, karena interval yang
dibuat lebih kecil dan lebih kecil, jumlah istilah dalam meningkatkan jumlah
dan mendekati jumlah suatu nilai sama dengan area di bawah kurva dalam grafik
kelajuan-waktu. Oleh karena itu, dalam batas n →∞, atau ∆tn → 0, perpindahannya
adalah:
(2.18)
Perhatikan bahwa kita telah menggantikan kelajuan rata-rata vxn,avg dengan kelajuan sesaat vxn dalam penjumlahan karena kelajuan bertahap vxn,avg mendekati fungsi vxn kontinu sebagai interval waktu menyusut menjadi nol. Seperti yang dapat Anda lihat dari Gambar 2.15, pendekatan ini berlaku dalam batas interval sangat kecil. Oleh karena itu, jika kita tahu grafik vx-t untuk gerak sepanjang garis lurus, kita dapat memperoleh perpindahan selama interval waktu dengan mengukur luas area di bawah kurva yang sesuai dengan interval waktu.
Batas jumlah ditunjukkan dalam Persamaan 2.18 disebut integral tertentu dan ditulis:
(2.19) ← integral tertentu
Perhatikan bahwa kita telah menggantikan kelajuan rata-rata vxn,avg dengan kelajuan sesaat vxn dalam penjumlahan karena kelajuan bertahap vxn,avg mendekati fungsi vxn kontinu sebagai interval waktu menyusut menjadi nol. Seperti yang dapat Anda lihat dari Gambar 2.15, pendekatan ini berlaku dalam batas interval sangat kecil. Oleh karena itu, jika kita tahu grafik vx-t untuk gerak sepanjang garis lurus, kita dapat memperoleh perpindahan selama interval waktu dengan mengukur luas area di bawah kurva yang sesuai dengan interval waktu.
Batas jumlah ditunjukkan dalam Persamaan 2.18 disebut integral tertentu dan ditulis:
di mana vx (t) menunjukkan kelajuan setiap saat t. Jika bentuk fungsional eksplisit vx (t) diketahui dan batas-batas yang diberikan, integral dapat dievaluasi. Terkadang grafik vx-t untuk sebuah partikel yang bergerak memiliki bentuk yang lebih sederhana dari yang ditunjukkan pada Gambar 2.15. Misalnya, sebuah partikel bergerak pada kelajuan konstan vxi. Dalam hal ini, grafik v-t adalah garis horizontal seperti pada Gambar 2.16 dan perpindahan dari partikel selama selang waktu ∆t hanyalah luas persegi panjang berbayang:
∆x = vxi ∆t (ketika vx = vxi = konstan)
Persamaan kinematik
Kita sekarang menggunakan definisi persamaan percepatan dan kecepatan untuk mendapatkan dua persamaan kinematik, Persamaan 2.13 dan 2.16.
Definisi persamaan untuk percepatan (Persamaan 2.10):
dapat ditulis sebagai dvx =ax dt, atau dalam hal integral (atau antiturunan), sebagai
Untuk kasus khusus di mana percepatan konstan, ax dapat dihapus dari integral untuk memberikan:
yang merupakan Persamaan 2.13. Sekarang mari kita perhatikan persamaan definisi untuk kelajuan (Persamaan 2.5):
Kita dapat menulis persamaan ini sebagai dx = vxdt atau dalam bentuk integral sebagai:
Karena vx = vxf = vxi + axt, ungkapan ini menjadi:
yang merupakan Persamaan 2.16.
Selain apa yang Anda harapkan untuk pelajari tentang konsep fisika,
keterampilan yang sangat berharga yang harus Anda harapkan untuk diambil dari
kursus fisika Anda adalah kemampuan untuk memecahkan masalah rumit. Cara
fisikawan mendekati situasi yang kompleks dan istirahat mereka menjadi
potongan-potongan dikelola sangat berguna. Berikut ini adalah strategi
pemecahan masalah umum untuk memandu Anda melalui langkah-langkah. Untuk
membantu Anda mengingat langkah-langkah strategi, yaitu Konseptualisasi,
kategorisasi, Analisa, dan Finalisasi.(Serway,2010:34-42).
Post a comment for "Analisis Model: Partikel dengan Percepatan Konstan "